Chapter 8.1, Problem 41PPS

To determine

To Prove:

Theorem $8.3$ ( $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ is parallelogram)

Explanation of Solution

Give information:

  $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ is quadrilateral where $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{C}\mathrm{D}$ and $\mathrm{A}\mathrm{D}=\mathrm{B}\mathrm{C}$

Proof:

In $△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ and $△\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{A}$

  $\begin{array}{l}\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{C}\mathrm{D}\\ \mathrm{B}\mathrm{C}=\mathrm{D}\mathrm{A}\\ \mathrm{A}\mathrm{C}=\mathrm{C}\mathrm{A}\\ △\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\cong △\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{...}\left(\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{y}\right)\end{array}$

  $\therefore △\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\cong △\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{A}$

Hence,

  $\begin{array}{l}\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}=\angle \mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{A}\left(\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{T}\right)\mathrm{...}\left(1\right)\\ \angle \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{A}=\angle \mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}\left(\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{T}\right)\mathrm{...}\left(2\right)\end{array}$

For lines $\mathrm{A}\mathrm{B},\mathrm{C}\mathrm{D}$ with transverse $\mathrm{A}\mathrm{C}$

  $\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}$ and $\angle \mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{A}$ are alternate angles are are equal.

Thus, lines are parallel. i.e. $\mathrm{A}\mathrm{B}\Vert \mathrm{C}\mathrm{D}$

For lines $\mathrm{A}\mathrm{D},\mathrm{B}\mathrm{C}$ with transverse $\mathrm{A}\mathrm{C}$

  $\angle \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{A}$ and $\angle \mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$ are alternate angles are equal.

Thus, lines are parallel. i.e. $\mathrm{A}\mathrm{D}\Vert \mathrm{B}\mathrm{C}$ .

Therefore, in $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$

Both pairs of opposite sides are parallel,

  $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ is a parallelogram.