Chapter 12, Problem 12.68QA

Interpretation Introduction

To find:

a. $∆{\mathrm{G}}^{\mathrm{o}}$ for the given reaction at $298$ K.

b. If the reaction is spontaneous at $298$ K

c. $∆\mathrm{G}$ for the given reaction at $1500$ K

d. If the reaction is spontaneous at $1500$ K

e. If the reverse reaction is spontaneous at the temperature of the kiln (i.e.$\mathrm{ }1500\mathrm{ }\mathrm{K}$)

Answer to Problem 12.68QA

Solution:

a. At $298\mathrm{ }\mathrm{K}$, the value of $∆{\mathrm{G}}^{\mathrm{o}}=\mathrm{ }-131.1\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$.

b. Yes, the reaction is spontaneous at $298$ K.

c. At $1500\mathrm{ }\mathrm{K}$, the value of $∆\mathrm{G}=60\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$.

d. No, the reaction is not spontaneous at $1500\mathrm{ }\mathrm{K}$.

e. Yes, the reverse reaction is spontaneous at the temperature of the kiln (i.e.$\mathrm{ }1500\mathrm{ }\mathrm{K}$).

Explanation of Solution

1) Concept:

 We have been asked to calculate the $∆{\mathrm{G}}^{\mathrm{o}}$ at $298$ K by using appendix 4. We can calculate $∆{\mathrm{G}}^{\mathrm{o}}$ from the $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}$ and $∆{\mathrm{S}}^{\mathrm{o}}$ values. We can determine the spontaneity of the reaction from the sign of the $∆{\mathrm{G}}^{\mathrm{o}}$ values.

2) Given information:

Substance	$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{O}\left(\mathrm{s}\right)$	${\mathrm{C}\mathrm{O}}_2\left(\mathrm{g}\right)$	${\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{O}}_3\left(\mathrm{s}\right)$
${∆\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{o}}$$\mathrm{k}\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$	$-634.9$	$-393.5$	$-1206.9$
${\mathrm{S}}^{\mathrm{o}}$$\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}$	$38.1$	$213.8$	$92.9$

3) Formulae:

i. $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=\mathrm{ }\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}}\mathrm{ }{\mathrm{ }∆\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}}^{\mathrm{o}}-\mathrm{ }\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}\mathrm{ }{\mathrm{ }∆\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}^{\mathrm{o}}$

ii. $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=\mathrm{ }\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}}\mathrm{ }{\mathrm{ }\mathrm{S}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}}^{\mathrm{o}}-\mathrm{ }\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}\mathrm{ }{\mathrm{ }\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}^{\mathrm{o}}$

iii. $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}-\mathrm{T}∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}$

4) Calculations:

We will calculate the $∆{\mathrm{G}}^{\mathrm{o}}$ at 298 K from given data.

a. $∆{\mathrm{G}}^{\mathrm{o}}$ for the given reaction at $298$ K:

$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{O}\left(\mathrm{s}\right)+{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2\left(\mathrm{g}\right)\to {\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{O}}_3\left(\mathrm{s}\right)$

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}$(Enthalpy change for the reaction) can be calculated from the difference between the standard molar enthalpies of ${\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ moles of reactants and the standard molar enthalpies of ${\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}}$ moles of products,

Therefore,

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=\mathrm{ }\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}}\mathrm{ }{\mathrm{ }∆\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}}^{\mathrm{o}}-\mathrm{ }\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}\mathrm{ }{\mathrm{ }∆\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}^{\mathrm{o}}$

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=\mathrm{ }\left[{\mathrm{n}}_{{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{O}}_3\left(\mathrm{s}\right)}\mathrm{ }{∆\mathrm{H}}_{\mathrm{ }{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{O}}_3\left(\mathrm{s}\right)}^{\mathrm{o}}\right]-\left[\left({\mathrm{n}}_{\mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{O}\left(\mathrm{s}\right)}\mathrm{ }{\mathrm{ }∆\mathrm{H}}_{\mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{O}\left(\mathrm{s}\right)}^{\mathrm{o}}\right)+\left({\mathrm{n}}_{\mathrm{ }{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2\left(\mathrm{g}\right)}\mathrm{ }{\mathrm{ }∆\mathrm{H}}_{\mathrm{ }{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2\left(\mathrm{g}\right)}^{\mathrm{o}}\right)\right]$

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=\left[1\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{ }\times \left(-1206.9\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\right)\right]-\left[1\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{ }\times \left(-634.9\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\right)+1\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{ }\times \left(-393.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}/\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\right)\right]$

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=-1206.9\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}+1028.4\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=-178.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

Change in entropy of reaction i.e. $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}$:

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}$(entropy change for the reaction) can be calculated from the difference between the standard molar entropies of ${\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ moles of reactants and the standard molar entropies of ${\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}}$ moles of products,

Therefore,

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=\mathrm{ }\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}}\mathrm{ }{\mathrm{ }\mathrm{S}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}}^{\mathrm{o}}-\mathrm{ }\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}\mathrm{ }{\mathrm{ }\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}}^{\mathrm{o}}$

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=\mathrm{ }\left[{\mathrm{n}}_{{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{O}}_3\left(\mathrm{s}\right)}\mathrm{ }{\mathrm{S}}_{\mathrm{ }{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{O}}_3\left(\mathrm{s}\right)}^{\mathrm{o}}\right]-\left[\left({\mathrm{n}}_{\mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{O}\left(\mathrm{s}\right)}\mathrm{ }{\mathrm{ }\mathrm{S}}_{\mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{O}\left(\mathrm{s}\right)}^{\mathrm{o}}\right)+\left({\mathrm{n}}_{\mathrm{ }{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2\left(\mathrm{g}\right)}\mathrm{ }{\mathrm{ }\mathrm{S}}_{\mathrm{ }{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2\left(\mathrm{g}\right)}^{\mathrm{o}}\right)\right]$

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=\left[1\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{ }\times \left(92.9\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}\right)\right]-\left[1\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{ }\times \left(38.1\mathrm{ }\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}\right)+1\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{ }\times \left(213.8\mathrm{ }\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}\right)\right]$

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=92.9\mathrm{ }\mathrm{J}/\mathrm{K}-251.9\mathrm{J}/\mathrm{K}$

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=-159.0\mathrm{ }\mathrm{J}/\mathrm{K}$

The Gibb’s free energy change for reaction, $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}$ at 298 K:

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=-178.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=-159.0\mathrm{ }\mathrm{J}/\mathrm{K}$= -0.1590 kJ/K

T = 298 K

Therefore, $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}-\mathrm{T}∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}$

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=(-178.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}-\mathrm{ }\left[298\mathrm{ }\mathrm{K}\times \left(-0.1590\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}/\mathrm{K}\right)\right]$

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=(-178.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}+47.382\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J})$

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=-131.1\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

b. $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}=-131.1\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$ at 298K, as the value of $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}\mathrm{ }\mathrm{ }$ is negative. Thus, the reaction is spontaneous.

c. $∆\mathrm{G}$ for the given reaction at $1500$ K:

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}={∆\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}-\mathrm{T}{∆\mathrm{S}\mathrm{ }}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}$

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}=(-178.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}-\mathrm{ }\left[1500\mathrm{ }\mathrm{K}\times \left(-0.1590\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}/\mathrm{K}\right)\right]$

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}=(-178.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}+238.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J})$

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}=60.0\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

d. $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}=60.0\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$ at 1500 K, as the value of $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}$ is positive. Thus, the reaction is nonspontaneous.

e. $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}$ for reverse reaction at the temperature of kiln (i.e.$\mathrm{ }1500\mathrm{ }\mathrm{K}$):

For the given reaction,

$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{O}\left(\mathrm{s}\right)+{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2\left(\mathrm{g}\right)\to {\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{O}}_3\left(\mathrm{s}\right)$; $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}=60.0\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

Therefore, for reverse reaction,

${\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{O}}_3\left(\mathrm{s}\right)\to \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{O}\left(\mathrm{s}\right)+{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2\left(\mathrm{g}\right);\mathrm{ }∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}=-60.0\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

Since the value of $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}$ is negative for reverse reaction, the reaction is spontaneous at $1500\mathrm{ }\mathrm{K}$.

Conclusion:

We can calculate the values of $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ using the standard values from the appendix and  $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^{\mathrm{o}}$ can be calculate using this equation,  $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}={∆\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}-\mathrm{T}{∆\mathrm{S}\mathrm{ }}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}$. With that, we can conclude the following:

a. At $298\mathrm{ }\mathrm{K}$, the value of $∆{\mathrm{G}}^{\mathrm{o}}=\mathrm{ }-131.1\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$.

b. Yes, the reaction is spontaneous at $298$ K.

c. At $1500\mathrm{ }\mathrm{K}$, the value of $∆\mathrm{G}=60\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$.

d. No, the reaction is not spontaneous at $1500\mathrm{ }\mathrm{K}$.

e. Yes, the reverse reaction is spontaneous at the temperature of the kiln (i.e.$\mathrm{ }1500\mathrm{ }\mathrm{K}$).