Chapter 12, Problem 12.75QA

Interpretation Introduction

To find:

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ of given reaction at ${1450\mathrm{ }}^0\mathrm{C}$.

Answer to Problem 12.75QA

Solution:

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{ }{1450\mathrm{ }}^0\mathrm{C}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }-51.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}.$

Explanation of Solution

1) Formula:

i. $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0-\mathrm{T}∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$

ii. $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0-\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0$

iii. $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0-\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0$

Here $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ is the standard Gibb’s free energy of reaction, $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ the standard enthalpy of the reaction, $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ the standard entropy of the reaction, T is the absolute temperature, and n is the number of moles of each reactant or product in the balanced equation for the reaction.

2) Concept:

We can calculate the change in enthalpy that accompanies a chemical reaction under standard conditions, $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$, from the difference between the standard molar enthalpies of n­­_reactants, the moles of reactants and the standard molar enthalpies of n_products, the moles of products. This is expressed mathematically as the formula shown above. Same applies to $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$.

The relation between Gibbs free energy ($∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$), enthalpy ($∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$) and entropy ($∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$) is given by the above formula. We can use this formula to calculate $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ of reaction.

3) Given:

$\mathrm{F}\mathrm{e}{}_2{\mathrm{O}}_{3\left(\mathrm{s}\right)}+3\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\left(\mathrm{g}\right)}\to 2\mathrm{F}{\mathrm{e}}_{\left(\mathrm{s}\right)}+3\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2\left(\mathrm{g}\right)}$

The reaction is carried out at a temperature $\mathrm{T}={1450}^0\mathrm{C}$

	$∆{\mathbf{H}}_{\mathbf{f}}^0(\mathbf{k}\mathbf{J}/\mathbf{m}\mathbf{o}\mathbf{l})$	$∆{\mathbf{S}}_{\mathbf{f}}^0(\mathbf{J}/\mathbf{m}\mathbf{o}\mathbf{l}.\mathbf{K})$
$\mathbf{F}\mathbf{e}{}_2{\mathbf{O}}_{3\left(\mathbf{s}\right)}$	$-824.2$	$87.4$
$\mathbf{C}{\mathbf{O}}_{\left(\mathbf{g}\right)}$	$-110.5$	$197.7$
$\mathbf{F}{\mathbf{e}}_{\left(\mathbf{s}\right)}$	$0.0$	$27.3$
$\mathbf{C}{\mathbf{O}}_{2\left(\mathbf{g}\right)}$	$-393.5$	$213.8$

4) Calculations:

The unit of $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f}}^0$ is $\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}$, therefore we need to convert T from ⁰C to K.

$\mathrm{T}\left(\mathrm{K}\right)={1450}^0\mathrm{C}+273.15=1723.15\mathbf{K}$

Calculation for $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$:

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0-\sum {\mathrm{n}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}}^0$

$∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=$

$\left[\left(2\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},{\mathrm{F}\mathrm{e}}_{\left(\mathrm{s}\right)}}^0\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},{{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2}_{\left(\mathrm{g}\right)}}^0\right)\right]-\left[\left(1\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},{{\mathrm{F}\mathrm{e}}_2{\mathrm{O}}_3}_{\left(\mathrm{s}\right)}}^0\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{f},{\mathrm{C}\mathrm{O}}_{\left(\mathrm{g}\right)}}^0\right)\right]$

$=\left[\left(2\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 0.0\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times \left(-393.5\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)\right)\right]-\left[\left(1\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times \left(-824.2\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times \left(-110.5\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\right)\right)\right]$

$=\left[\left(0-1180.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}\right)\right]-\left[\right(-824.2-331.5\left)\right]$

$=(-1180.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J})-\left(-1155.7\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}\right)$

$=-1180.5+1155.7\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

$∆{\mathbf{H}}_{\mathbf{r}\mathbf{x}\mathbf{n}}^0=-24.8\mathbf{ }\mathbf{k}\mathbf{J}$

Calculation for $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$:

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=$

$\left[\left(2\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},{\mathrm{F}\mathrm{e}}_{\left(\mathrm{s}\right)}}^0\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},{{\mathrm{C}\mathrm{O}}_2}_{\left(\mathrm{g}\right)}}^0\right)\right]-\left[\left(1\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},{{\mathrm{F}\mathrm{e}}_2{\mathrm{O}}_3}_{\left(\mathrm{s}\right)}}^0\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times ∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{f},{\mathrm{C}\mathrm{O}}_{\left(\mathrm{g}\right)}}^0\right)\right]$

$=\left[\left(2\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 27.3\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}}\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 213.8\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}}\right)\right]-\left[\left(1\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 87.4\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}}\right)+\left(3\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\times 197.7\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}.\mathrm{K}}\right)\right]$

$=\left(54.6\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}+641.4\mathrm{ }\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\right)-\left(87.4\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}+593.1\mathrm{ }\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\right)$

$=696\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}-680.5\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=15.5\mathrm{ }\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

All units of $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0,\mathrm{ }∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$, must be in same unit, so need to convert $∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ from $\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$ to $\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$.

$∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=15.5\mathrm{ }\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\times \frac{1\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}}{1000\mathrm{ }\mathrm{J}}=0.0155\frac{\mathbf{k}\mathbf{J}}{\mathbf{K}}$

Calculation for $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$:

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0-\mathrm{T}∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=-24.8\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}-1723.15\mathrm{ }\mathrm{K}\times 0.0155\frac{\mathrm{k}\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$

$∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0=-24.8\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}-26.708825\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}$

$∆{\mathbf{G}}_{\mathbf{r}\mathbf{x}\mathbf{n}}^0=-51.5\mathbf{ }\mathbf{k}\mathbf{J}$

After calculating values of $∆{\mathrm{H}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }∆{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$, we plugged these values in $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0$ formula and calculated it.

Conclusion:

Based on the relation between $∆\mathrm{G},\mathrm{ }∆\mathrm{H},\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }∆\mathrm{S}$, we find that $∆{\mathrm{G}}_{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{n}}^0\mathrm{ }\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{ }{1450}^0\mathrm{C}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{s}-51.5\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{J}.$