Chapter 1, Problem 1RQ

Mark each of the following statements true or false:

1. $\text{For <x-custom-btb-me data-me-id="1725" class="microExplainerHighlight">vectors</x-custom-btb-me> }u,v,\text{ and }w\text{ in }{ℝ}^n,\text{ if }u+w=v+w\text{ then }u=v.$

2. $\text{For vectors }u,v,\text{ and }w\text{ in }{ℝ}^n,\text{ if }u\cdot w=v\cdot w,\text{ then }u=v$

3. $\text{For vectors }u,v,\text{ and }w\text{ in }{ℝ}^3,\text{ if }u\text{ is orthogonal }\text{ to }v,\text{ and }v\text{ is orthogonal to }w,\text{ then }u\text{ is orthogonal }\text{ to }w\text{. }$

4. $\mathrm{In}{ℝ}^3,\text{ if a line }\mathcal{l}\text{ is parallel to a plane }\mathcal{P},\text{ then a di- }\text{ rection vector }d\text{ for }\mathcal{l}\text{ is parallel to a normal vector }\text{ n for }\mathcal{P}.$

5. $\text{In }{ℝ}^3,\text{ if a line }\mathcal{l}\text{ is perpendicular to a plane }\mathcal{P},\text{ then }\text{ a direction vector }d\text{ for }\mathcal{l}\text{ is a parallel to a normal }\text{ vector }n\text{ for }\mathcal{P}\text{. }$

6. ${ℝ}^3,\text{ if two planes are not parallel, then they must }\text{ intersect in a line}\text{. }$

7. $\text{In }{ℝ}^3,\text{ if two lines are not parallel, then they must }\text{ intersect in a point}\text{. }$

8. $\text{If }v\text{ is a binary vector such that }v\cdot v=0\text{ , then }v=0\text{. }$

9. $\mathrm{In}{\mathbb{Z}}_5,\text{ if }ab=0\text{ then either }a=0\text{ or }b=0\text{. }$

10. $\ln {\mathbb{Z}}_6,\text{ if }ab=0\text{ then either }a=0\text{ or }b=0$

To determine

Whether the statement, “if $\mathit{u}+\mathit{w}=\mathit{v}+\mathit{w}$, then $\mathit{u}=\mathit{v}$” is true or false.

Answer to Problem 1RQ

The statement is true.

Explanation of Solution

Given that, $\mathit{u}+\mathit{w}=\mathit{v}+\mathit{w}$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{ }(-\mathit{w}) \mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s},\mathrm{ }\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}$

$\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{u}+\mathit{w}+\left(-\mathit{w}\right)=\mathit{v}+\mathit{w}+(-\mathit{w})$

$or, \mathit{ }\mathit{ }\mathit{u}+\left(\mathit{w}-\mathit{w}\right)=\mathit{v}+\left(\mathit{w}-\mathit{w}\right)\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\left[\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{y}\right]$

$or, \mathit{ }\mathit{ }\mathit{u}+0=\mathit{v}+0$

$or, \mathit{ }\mathit{ }\mathit{u}=\mathit{v}$

Thus, $\mathit{u}=\mathit{v}$.

Therefore, the given statement is true.

To determine

Whether the statement, “if $\mathit{u}\bullet \mathit{w}=\mathit{v}\bullet \mathit{w}$, then $\mathit{u}=\mathit{v}$” is true or false.

Answer to Problem 1RQ

The statement is false.

Explanation of Solution

The given statement is false as the below example disproves the given statement.

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s} \mathit{u}=\left(\mathrm{1,1},1\right),\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{v}=\left(\mathrm{1,0},1\right) and \mathit{w}=(\mathrm{1,0},0).$

$\mathit{u}\bullet \mathit{w}=\left(\mathrm{1,1},1\right)\bullet \left(\mathrm{1,0},0\right)=\left(1\right)\left(1\right)+\left(1\right)\left(0\right)+\left(1\right)\left(0\right)=1$

$\mathit{v}\bullet \mathit{w}=\left(\mathrm{1,0},1\right)\bullet \left(\mathrm{1,0},0\right)=\left(1\right)\left(1\right)+\left(0\right)\left(0\right)+\left(1\right)\left(0\right)=1$

Thus, $\mathit{u}\bullet \mathit{w}=\mathit{v}\bullet \mathit{w}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathit{u}\ne \mathit{v}$.

Therefore, the given statement is false.

To determine

Whether the statement, “$\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathit{u} \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathit{v}, \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathbf{ }\mathit{v} \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathit{w}, \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathit{u} \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }$

$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathbf{ }\mathit{w}\mathrm{ }$” is true or false.

Answer to Problem 1RQ

The statement is false.

Explanation of Solution

The given statement is false as the below example disproves the given statement.

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s} \mathit{u}=\left(\mathrm{1,0},0\right),\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{v}=\left(\mathrm{0,0},1\right) and \mathit{w}=(\mathrm{2,0},0).$

$\mathit{u}\bullet \mathit{v}=\left(\mathrm{1,0},0\right)\bullet \left(\mathrm{0,0},1\right)=\left(1\right)\left(0\right)+\left(0\right)\left(0\right)+\left(0\right)\left(1\right)=0$

$\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathit{u}\bullet \mathit{v}=0, \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathit{u} \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathit{v}.$

$\mathit{v}\bullet \mathit{w}=\left(\mathrm{0,0},1\right)\bullet \left(\mathrm{2,0},0\right)=\left(0\right)\left(2\right)+\left(0\right)\left(0\right)+\left(1\right)\left(0\right)=0$

$\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathit{v}\bullet \mathit{w}=0, \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathit{v} \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathit{w}.$

$\mathit{u}\bullet \mathit{w}=\left(\mathrm{1,0},0\right)\bullet \left(\mathrm{2,0},0\right)=\left(1\right)\left(2\right)+\left(0\right)\left(0\right)+\left(0\right)\left(0\right)=2$

$\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathit{u}\bullet \mathit{v}=2\ne 0, \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathit{u} \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathit{w}.$

Therefore, the given statement is false.

To determine

Whether the statement, “$\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }l \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }P, \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathit{d} \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }l \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }$

$\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathit{n} \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }P\mathrm{ }$” is true or false.

Answer to Problem 1RQ

The statement is false.

Explanation of Solution

The given statement is false as the below statement disproves the given statement.

$\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }l \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }P, \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathit{d} \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }l \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }$

$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathit{n} \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }P$

$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{y},\mathrm{ }\mathrm{ }\mathit{d}\bullet \mathit{n}=0$

Therefore, the given statement is false.

To determine

Whether the statement, “$\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }l \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }P, \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathit{d}$

$\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }l \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathit{n} \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }P\mathrm{ }$” is true or false.

Answer to Problem 1RQ

The statement is true.

Explanation of Solution

$\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }l \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }P, \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{ }$

$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}.$

Therefore, the given statement is true.

To determine

Whether the statement, “$\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l},\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{ }$

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}$” is true or false.

Answer to Problem 1RQ

The statement is true.

Explanation of Solution

$\mathrm{T}\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e},\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}.$

Therefore, the given statement is true.

To determine

Whether the statement, “$\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l},\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{ }$

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$” is true or false.

Answer to Problem 1RQ

The statement is false.

Explanation of Solution

The given statement is false as the below example disproves the given statement.

$\mathrm{S}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}-\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}.$

$\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e},\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }Z-\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{ }x+y=2, z=0.$

$\mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r},\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{y}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}.\mathrm{ }$

Therefore, the given statement is false.

To determine

Whether the statement, “$\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathit{v} \mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathit{v}\bullet \mathit{v}=0, \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathit{v}=0$” is true or false.

Answer to Problem 1RQ

The statement is false.

Explanation of Solution

The given statement is false as the below example disproves the given statement.

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathit{v}=\left[\mathrm{1,1},0\right]$

$\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{ }\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{ }1+1=0$

$\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{s},\mathrm{ }\mathit{v}\bullet \mathit{v}=\left[\mathrm{1,1},0\right]\bullet \left[\mathrm{1,1},0\right]=\left(1\right)\left(1\right)+\left(1\right)\left(1\right)+\left(0\right)\left(0\right)=1+1=0\mathrm{ }$

$\mathrm{B}\mathrm{u}\mathrm{t},\mathrm{ }\mathrm{ }\mathit{v}\ne 0\mathrm{ }$

Therefore, the given statement is false.

To determine

Whether the statement, “In ${\mathbb{Z}}_5$, if $ab=0$ then either $a=0$ or $b=0$.” is true or false.

Answer to Problem 1RQ

The statement is true.

Explanation of Solution

We can prove the above statement by proving that ${\mathbb{Z}}_5$ does not have zero divisors.

Here, ${\mathbb{Z}}_5=\left\{\mathrm{0,1},\mathrm{2,3},4\right\}$.

Now, $0\bullet 1=0, 0\bullet 2=0, 0\bullet 3=0, 0\bullet 4=0, 1\bullet 2=2, 1\bullet 3=3, 1\bullet 4=4,$

$2\bullet 3=1, 2\bullet 4=3, 3\bullet 4=2.$

Thus, there does not exist zero divisors.

Hence, in ${\mathbb{Z}}_5$, if $ab=0$ then either $a=0$ or $b=0$.

Therefore, the given statement is true.

To determine

Whether the statement, “In ${\mathbb{Z}}_6$, if $ab=0$ then either $a=0$ or $b=0$.” is true or false.

Answer to Problem 1RQ

The statement is false.

Explanation of Solution

Counter Example:

Let $a=3, b=2\in {\mathbb{Z}}_6$.

Now, $ab=6=0$ in ${\mathbb{Z}}_6$, but neither $a\ne 0$ nor $b\ne 0$.

Therefore, the given statement is false.