Exercice 2: Soit & l'ensemble des nombres réels. Partie A Soit g la fonction définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel x. g(x) = - 2x ^ 3 + x ^ 2 - 1 1. a) Étudier les variations de la fonction g b) Déterminer les limites de la fonction gen -oo et en +00. 2. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans R, notée a, et que a appartient à | - 1 ;0|. 3. En déduire le signe de g sur R. Partie B Soit ƒ la fonction définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel s. f(x) = (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3) * e ^ (- 2x + 1) On note f la fonction dérivée de la fonction ƒ sur R. 1. Démontrer que lim x -> ∞ f(x) = - ∞ 2. a) Démontrer que, pour tout x > 1 1 < x < x ^ 2 < x ^ 3 b) En déduire que, pour x > 1 0 < f(x) < 4x ^ 3 * e ^ (- 2x + 1) c) On admet que, pour tout entier naturel n. lim x -> ∞ x ^ n * e ^ (- x) = 0 Vérifier que, pour tout réel x, 4x ^ 3 * e ^ (- 2x + 1) = e/2 * (2x) ^ 3 * e ^ (-2x) puis montrer que: lim x -> ∞ 4x ^ 3 * e ^ (- 2x + 1) = 0 d) On note epsilon_{f} la courbe représentative de ƒ dans un repère orthonorme ( 0 , vec 1 , vec j ) En utilisant la question précédente, déterminer la limite de / en +00 et en donner une interprétation graphique. 3. Démontrer que, pour tout x de R. f' * (x) = (- 2x ^ 2 + x ^ 2 - 1) * e ^ (- 2x + 1) 4. A l'aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de ƒ sur R. G-MONTIGNY-Lycée Feyder-Flan d'attaque 2/7
Exercice 2:
Soit & l'ensemble des nombres réels.
Partie A
Soit g la fonction définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel x. g(x) = - 2x ^ 3 + x ^ 2 - 1
1. a) Étudier les variations de la fonction g
b) Déterminer les limites de la fonction gen -oo et en +00.
2. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans R, notée a, et que a appartient à | - 1 ;0|.
3. En déduire le signe de g sur R.
Partie B
Soit ƒ la fonction définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel s. f(x) = (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3) * e ^ (- 2x + 1) On note f la fonction dérivée de la fonction ƒ sur R.
1. Démontrer que lim x -> ∞ f(x) = - ∞
2. a) Démontrer que, pour tout x > 1
1 < x < x ^ 2 < x ^ 3
b) En déduire que, pour x > 1
0 < f(x) < 4x ^ 3 * e ^ (- 2x + 1)
c) On admet que, pour tout entier naturel n. lim x -> ∞ x ^ n * e ^ (- x) = 0 Vérifier que, pour tout réel x, 4x ^ 3 * e ^ (- 2x + 1) = e/2 * (2x) ^ 3 * e ^ (-2x) puis montrer que: lim x -> ∞ 4x ^ 3 * e ^ (- 2x + 1) = 0
d) On note epsilon_{f} la courbe représentative de ƒ dans un repère orthonorme ( 0 , vec 1 , vec j )
En utilisant la question précédente, déterminer la limite de / en +00 et en donner une interprétation graphique.
3. Démontrer que, pour tout x de R. f' * (x) = (- 2x ^ 2 + x ^ 2 - 1) * e ^ (- 2x + 1)
4. A l'aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de ƒ sur R.
G-MONTIGNY-Lycée Feyder-Flan d'attaque
2/7
Step by step
Solved in 2 steps with 11 images
