Maths-TleD_TI-Eval1

EXERCICE 1 : 4points 1- Résoudre dans ℝ 3 : { 3𝑥 2 − 2 ?−5 + |𝑧| = 12 𝑥 2 + 1 ?−5 − 3|𝑧| = −1 −𝑥 2 + 3 ?−5 − 4|𝑧| = −9 2pts 2- Un commerçant a vendu 160L d’huile dans des bouteilles de : 1L, 5L et 10L. La bouteille de 1L coûte 500F, celle de 5L coûte 2400F et la bouteille de 10L coûte 4500F. Déterminer le nombre de bouteilles de chaque type vendu par le commerçant sachant qu’il a vendu au total 33 bouteilles pour une recette de 74500F. 2pts EXERCICE 2 : 6points 1) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe T= (3−𝑖)(1+2𝑖) (1−3𝑖)(2+𝑖) 0,75pt 2) a) calculer (1 − 𝑖) 2 et en déduire (1 − 𝑖) 4 0.5pt b) on donne 𝑧 = 1 − 𝑖 et n un entier naturel. Donner la forme algébrique de z n dans les différents cas où n=4k ; n=4k+2 ;n=4k+1 ;n=4k+3 (?𝜖𝐼𝑁 ). Dans quels cas à t-on z n réel ? z n imaginaire pur ? 1pt 3) soit un nombre complexe Z tel que Z= ?+3−𝑖 ?−21𝑖 . Déterminer les ensembles des points M d’affixes z tel que : a) Z soit un nombre réel 0,75pt b) Z soit un nombre imaginaire pur 0,75pt 4) On considère le nombre complexe u= √3 + 1 + 𝑖(√3 − 1) a) Calculer u 2 0,5pt b) Déterminer le module de u 2 et en déduire le module de u 0,5pt 5) Le plan complexe est muni du repère ortho normal (o ;i ;j). on considère les points ? (−𝑖) ; ?(4 + 𝑖) ?? ?(1 + 2𝑖) a) Placer les points ?, ?, ?? ? dans le repère. 0,75pt b) Trouver l’affixe du point ? ??? ???? soit un parallélogramme 0,5pt Problème 10pts Partie A : La fonction numérique ? est définie par ?(𝑥) = 2?+1 ?+2 1) Etudier les variations de ? 0 ,5pt MINESEC - COLLÈGE BILINGUE NOTRE REINE DE LOURDES Année scolaire 2019-2020 Département Examen Classe Date MATHEMATIQUES Devoir Harmonisé N° 1 T le D /10/2019 Durée Coefficient Visa de l’AP Visa de PE 4H 4

a ;,,*.l*§* çjcg-3, : {,r p:*'ü r}qs Déterminer le nombre d'élèves envoyés par chaque établissement à oette compétition 2 ,5 pts R.+ le système linéaire trivial d'inconnue (x, y, z, t) : Onpose u=r+ y-z+t. a) Montrer que le système (S) est équivalent au système lpt b) Calculer u et en déduire les solutions (x, y, z, t) de (S) dans 1pt l'\'*-]r-z='t Résoudre clans IR3 le systènte I O, - r'- z =5 1,5pt f-r** )t*z=6 Des élèves des classes de Terminale D de trois établissements A, B et C de la région du Centre concourent pour un prix de SVT. Chaque établissement a envoyé ses représentants de sorte que : - Si I'on retire un représentant de l'établissement A de la compétition, les autres représentants de A représentent alors 20% du nombre total initial de compétiteurs. - Si l' on fait appel à deux nouveaux représentants de l'établissement A, ils représentent alors 250À du nouveau total des compétiteurs. - ou bien si 1'on retire quatre représentants de l'établissement C de la compétition, les autres représentent alors la moitié du nouveau total des compétiteurs. 1. 2. t -4 3t =L2 a 4t - 1,6 5t -20 3. On considère dans fr* +2y -Zz + .^\ l:, +3y-Zz+ (.s) 'l 14* +3y - 4z + [.0, +5y-5 z+ fr"-t -4 ji" + z =1,2 1. i*u-ÿ:-16 Ls, -x -20 IR,4. (,s') : Page 2 sur 2

Lycée de Bafou-Sud Evaluation d’octobre 2019/ Maths T le D MINSEC Année scolaire 2019/2020 Lycée de Bafou-Sud Département de Mathématiques Classe : T le D, Coef : 4 Durée : 3 h Épreuve de Mathématiques Le correcteur tiendra compte de la rigueur dans la rédaction et de la clarté de la copie. Exercice 1. [2,75pts] 1. Résoudre dans R 3 , le système :    x + y + z = 5 9 x + 3 y + z = 13 25 x - 5 y + z = 5 [ 1pts ] 2. Le plan est muni d’un repère ( O ; -→ i , -→ j ) . Soit la fonction f du plan définie par f ( x ) = ax 2 + bx + c avec a , b et c des réels. Déterminer les valeurs de a , b et c pour que la courbe de f passe par les points A (1; 5) , B (3; 13) et C ( - 5; 5) . [ 1pt ] 3. Résoudre dans C 2 le système : (1 + i ) z - iz 0 = 2 + i (2 + i ) z + (2 - i ) z 0 = 7 - 4 i [ 0.75pts ] Exercice 2. [ 3pts ] Soit le nombre complexe z = - 1+ i √ 3 1+ i . 1. Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe z 1 = - 1 + i √ 3 . [ 0.5pt ] 2. Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe z 2 = 1 + i . [ 0.5pt ] 3. En déduire l’écriture trigonométrique du nombre complexe z donné au début de l’exercice. [ 0.5pt ] 4. Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe z . [ 0.5pt ] 5. En déduire les valeurs exactes de cos( 5 π 12 ) et sin( 5 π 12 ) . [ 1pt ] Exercice 3. [ 2.75pts ] Soit le polynôme défini dans C par : P ( z ) = z 4 + 3 z 3 + 9 2 z 2 + 3 z + 1 . 1. Montrer que P ( z ) = P ( z ) , pour tout nombre complexe z . [ 0.5pt ] 2. Montrer que si z 0 est racine de P ( z ) alors z 0 , 1 z 0 et 1 z 0 sont aussi des racines de P ( z ) . [ 1pt ] 3. Calculer P ( - 1 + i ) . [ 0.5pt ] 4. En déduire la résolution dans C de l’équation P ( z ) = 0 . [ 0.75pt ] Problème 1. [ 11.5rpts ] Les parties A et B sont indépendantes. Le plan complexe est muni du repère orthonormé ( O ; -→ u , -→ v ) . PARTIE A :06.25pts 1. Soit le polynôme P de C défini par : P ( z ) = z 3 - (5 + i ) z 2 + (10 + 6 i ) z - 8 - 16 i a) Montrer que le polynôme P ( z ) admet une racine z 0 imaginaire pure. [ 0,5pt ] b) Déterminer les nombres complexes a et b tels que P ( z ) = ( z - 2 i )( z 2 + az + b ) . [ 0.75pt ] c) Résoudre dans C l’équation P ( z ) = 0 . [ 1pt ] 2. Soit les points A (3 + i ) , B (2 i ) et C (2 - 2 i ) . R est la rotation de centre A et d’angle - π 2 ; h homothétie de centre B et de rapport - 2 . E est l’image du point B par R . a) Placer les points A , B et C dans le plan. [ 0.75pt ] b) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle. [ 0.5pt ] c) Déterminer l’affixe du point I milieu du segment [ BC ] . [ 0.5pt ] d) Montrer que les points A , B et C sont situés sur un même cercle dont-on précisera le centre et le rayon, puis contruire. [ 0.75pt ] e) Déterminer l’affixe du point J symétrique de A par rapport à I . [ 0.5pt ] Devoir N o 1/Lycée de Bafou-Sud/Maths P age 1/ 2 c Département de Maths octobre 2019

Lycée Bilingue de Mbalngong Mathématiques_TleD @NSA Page 1 Trimestre 1 Discipline Enseignant Classe Date 12 /10/ 19 Durée 2H30 Devoir surveillé numéro 1 Mathématiques M. NCHARE ABDOULAYE TERMINALE D Coefficient : 4 L’épreuve comporte trois exercices étalés sur deux pages. La clarté de la copie et la qualité de la rédaction seront prises en compte dans l’évaluation de la copie du candidat Exercice 1 : 4 points 1) Déterminer le triple (?, ?, ?) solution du système suivant :               468 3 2 446 3 2 780 2 3 5 z y x z y x z y x 1.5 pt 2) en déduire de 1) les solutions du système suivant { 5? 2 + |3? − 3| + 2? = 780 ? 2 + |2? − 2| + 3? = 446 2? 2 + |3? − 3| + ? = 468 1 pt 3) Trois techniciens se rendent dans un magasin pour l’achat du matériel nécessaire à la réalisation des travaux. M. Nchare achète 5 matériaux de type A, 3 matériaux de type B et 2 matériaux de type C et dépense au total 780.000 frs CFA. M. Nana achète 1 matériel de type A, 2 matériaux de type B et 3 matériaux de type C et dépense au total 446.000 frs CFA M. Tagni achète 2 matériaux de type A, 3 matériaux de type B et 1 matériel de type C et dépense au total 468.000 frs CFA. 1.5 pt Exercice 2: 8 points 1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel : ? ≥ 1, 1 2 + 1 6 + 1 12 + ⋯ + 1 𝑛(𝑛+1) = 𝑛 𝑛+1 . 1.25 pt 2) Calculer les sommes suivantes : S 1 =1+i+i 2 + .... +i 199 et S 2 =1-i+i 2 +….+( -i) 199 1 pt 3) On définit la suite ? 𝑛 par ? 0 = 1 et pour tout ? appartenant à ℕ par ? 𝑛+1 = √? 𝑛 + 12 . a) Montrer par récurrence que pour tout ? appartenant à ℕ , ? 𝑛 ≤ 4 . 1 pt b) Démontrer par récurrence que (? 𝑛 ) est croissante. 1 pt c) En déduire que (? 𝑛 ) est convergente et déterminer sa limite. 0.75 pt REPUBLIC OF CAMEROON PEACE – WORK - FATHERLAND MINISTRY OF SECONDARY EDUCATION REGIONAL DELEGATION FOR THE CENTRE MEFOU AND AKONO DIVISIONAL DELEGATION G.B.H.S. MBALNGONG P.O BOX: 100 MBANKOMO Registration number: 5KH1GSBD110 309 112 REPUBLIQUE DU CAMEROUN PAIX – TRAVAIL – PATRIE MINISTERE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES DELEGATION REGIONALE DU CENTRE DELEGATION DEPARTEMENTALE DE LA MEFOU ET AKONO LYCEE BILINGUE DE MBALNGONG B.P : 100 MBANKOMO N° d’immatriculation : 5KH1GSBD110 309 112

PROPOSE PAR : M.NGUETSEYA/ M.YEPDJOUO 2 3- Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (𝑂; ? ⃗ ; ? ) d ’ unité graphique 2cm On considère les points A, B et C d ’ affixes respectives ? ? = 1 + 𝑖, ? ? = ? ? ̅ et ? ? = 2? ? . a) Déterminer les formes algébriques de ? ? et ? ? . 0,5pt b) Placer les points A, B et C dans le repère. 0,75pt c) Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle (C) de centre I d ’ affixe 3 et de rayon √5 . 0,75pt d) Déterminer l ’ affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. 0,5pt e) On désigne par H le barycentre du système de points pondérés : {(?, 3); (?, −2); (?, 1)} . Déterminer l ’ affixe du point H. 0,5pt Problème. 07,25 points Partie A. Soit ? et ? deux points d ’ affixe respective ? ? = 2 − 𝑖 et ? ? = −𝑖 . Pour tout nombre complexe ? ≠ −𝑖 , on désigne par ? le nombre complexe définit par ? = 𝑧−2+𝑖 𝑧+𝑖 et on pose ? = ? + 𝑖? . 1- Déterminer en fonction de ? et ? la partie réelle et la partie imaginaire de ? . 1pt 2- Déterminer l ’ ensemble (ℇ) des points M d ’ affixe ? tel que ? soit réel. 0,75pt 3- Déterminer l ’ ensemble (ℱ) des points M d ’ affixe ? tel que ? soit imaginaire pur. 0,75pt 4- Déterminer l ’ ensemble (?) des points M d ’ affixe ? tel que |?| = 1 . 0,75pt Partie B. On considère la suite numérique (? 𝑛 ) définie sur ℕ par : { ? 0 = 1 2 ? 𝑛+1 = 3𝑈 𝑛 2𝑈 𝑛 +1 1- Déterminer les réels ? et ? tels que pour tout 𝑛 ∈ ℕ , ? 𝑛+1 = ? + 𝑏 2𝑈 𝑛 +1 . 0,5pt 2- Démontrer par récurrence que pour tout 𝑛 ∈ ℕ , 0 < ? 𝑛 < 1 . 1pt 3- a) Démontrer que la suite (? 𝑛 ) est croissante. 0,5pt b) En déduire que la suite (? 𝑛 ) converge. 0,5pt 4- On pose ? 𝑛 = 𝑈 𝑛 1−𝑈 𝑛 pour tout 𝑛 ∈ ℕ . a) Démontrer que (? 𝑛 ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et la premier terme. 0,5pt b) Exprimer ? 𝑛 en fonction de 𝑛 , et en déduire que ? 𝑛 = 3 𝑛 1+3 𝑛 . 0,5pt c) Calculer la limite de la suite (? 𝑛 ) . 0,5pt

IYCEE DE MBALMAYO-RURAl 2019/2020 EVALUATION N o 1 Tle D Epreuves de Mathématiques Durée : 3 heures Coefficient : 4 EXERCICE I 06.75 points. I. 1. Calculer la limite des foncions suivantes en + ∞ . 0.75x5 =03.75 points a) √𝑥 + 1 − √𝑥 ; b) cos 𝑥 − 4𝑥 + 3 ; c) ଵି√ଵା௫ మ ଵି√ଵା௫ మ ; 2. Calculer la limite en 0 des fonctions suivantes: a) ଵିୡ୭ୱ௫ మ ௫ ; b) ୱ୧୬(ିହ௫) ିଷ௫ II . Résoudre dans IR 3 (par la méthode de Gauss). 1x3 =03 points. a) ൝ 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5 −𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7 5𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −8 ; b) ൝ −𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 2 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3 c) ൝ 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 −𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −2 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −1 EXERCICE II 05.5 points On considère les nombres complexes i z 3 1  ; i z   1 2 et i z 2 3 2 3   . 1) Trouver l’écriture trigonométrique et exponentielle de 1 z ; 2 z et 3 z . En déduire l’écriture trigonométrique et exponentielle de 2 z  ; 2 z ; 3 1 z ; 3 2 z et 2 3 z z .(8x0,25=4 pts) 2) a) Trouver l’écriture trigonométrique de 3 2 z z . (0,5pt) b) Trouver l’écriture algébrique de 3 2 z z . (0 ,5pt) c) En déduire       12  Cos et       12  Sin . (0.5pt) Exercice III (04.75 points) Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct   2 1 ; ; e e O . Unité : 1 cm. On considère les points A , B et C d’affixes respectifs i Z A 2 1   , i Z B 2 2   et C Z tels que i Z Z Z Z B C A C 2    . 1) Trouver l’affixe C Z du point C. (0.75pt) 2) Calculer AB 2 ; CA 2 et CB 2 . Justifier que le triangle ABC est un triangle rectangle. Dessiner le triangle ABC . (3x0.5+0.5+0.5=02.5pts) 3) Soit M un point du plan complexe d’affixe z. Déterminer et construire sur le graphique précèdent de la question 2) , l’ensemble des points M d’affixe z du plan complexe tels que : a) 3 2 2 2 1 i i z     b) i z i z 2 2 2 1       (1.5pts) Exercice IV (03 points) Le plan complexe est muni du repère orthonormé   2 1 ; ; e e O . Soit M un point d’affixe iy x z   avec ) ; ( y x couple de nombres réels. On pose : U = 2 ) ( 2 2 2     z z i z z . 1) Justifier que U est un nombre réel. (1pt) 2) Démontrer que : U = 0 si et seulement si   2 2 1   y x . (1pt) 3)En déduire puis construire l’ensemble des points M tels que U = 0. (1pt) Sujet proposé par : M MOUOKO

L’épreuve comporte 2 exercices et un problème sur 20 points. Rédaction exigée. Qu’on se le dise !! EXERCICE 1 / 3 points 1. Démontrer par récurrence les propriétés suivantes : a) ∀ n ϵ ℕ ∗ , 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 (n+1) 2 4 1pt b) ∀ n ϵ ℕ ∗ ; ∑ k(n − k) n k=1 = (n−1)n(n+1) 6 1pt c) ∀ n ϵ ℕ, 5 2𝑛 − 3 𝑛 est divisible par 11. 1pt EXERCICE 2 / 7 points 1. Linéariser cos 4 ? . 1,5pt 2. On considère les nombres complexes : z 1 = √3 − i , z 2 = 2 − 2i et Z = z 1 4 z 2 3 . a. Détermine le module et un argument de z 1 , z 2 , z 1 4 et z 2 3 . 2pt b. En déduire la forme algébrique de z 1 4 , z 2 3 , puis de Z . 1,5pt c. Ecrire Z sous forme trigonométrique. 1pt d. Déduire les valeurs exactes de cos π 12 et sin π 12 . 1pt PROBLEME / 10 points Le problème comporte deux parties A et B indépendantes. PARTIE A / 7 points On considère le polynôme à variable complexe P définie par : 𝑃(?) = ? 3 − (5 + 𝑖)? 2 + (10 = 6𝑖)? − 8 − 16𝑖 . 1. Calculer 𝑃(2𝑖) et conclure. 1pt 2. Déterminer trois nombres complexes a, b et c tels que : 𝑃(?) = (? − 2𝑖)(?? 2 + ?? + ?) . 1pt 3. a- Déterminer les racines carrées du nombre complexe 24 − 4𝑖 . 1pt b- résoudre dans ℂ l’équation : ? 2 − (5 − 𝑖)? + 8 − 4𝑖 = 0 . 1pt c- En déduire les solutions dans ℂ de l’équation 𝑃(?) = 0 . 0,5pt 4. A, B et C sont trois points du plan complexe d’affixe respectif : ? ? = 3 + 𝑖 ; ? ? = 2𝑖 et ? ? = 2 − 2𝑖 . a- Placer les points A, B et C dans le plan complexe. 0,75pt b- Calculer le rapport 𝑧 ? −𝑧 ? 𝑧 ? −𝑧 ? et en déduire la nature du triangle ABC. 1,25pt MINESEC _ LYCEE DE GUIDER Année scolaire 2019-2020 Examen : Contrôle continu 1 Classe : TD&TI Epreuve : Mathématiques Durée : 2 heures Coef : 4

c- Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. 0,5pt PARTIE B / 3 points 1. Résoudre dans ℝ 3 le système (S) : { ? + ? + ? = 89 3? + 4? + 3,5? = 313 4? + ? + 1,6? = 182 . 1,5pt 2. Un potier fabrique trois différents types d’objets A, B et C qui nécessite :  2kg d’argile et 3h de travail pour un objet de type A.  500g d’argile et 4h de travail pour un objet de type B.  800g d’argile et 3h30 min de travail pour un objet de type C. En 313h de travail, le potier utilise 91kg d’argile pour fabriquer 89 objets au total. Déterminer le nombre d’objets de chaque type fabriqué. 1,5pt « Travailler de manière à remporter le prix » Examinateur : M. NGANSOB NONO Yves (PLEG_Maths)