Chapter 10.6, Problem 27PSC

To determine

Find the value of the given angle using diagram.

Answer to Problem 27PSC

The value of the angle $\mathrm{m}\angle \mathrm{S}={47}^{°}$ .

Explanation of Solution

Given:

The given diagram is

  

  $\overline{\mathrm{P}\mathrm{T}}$ is the common external tangent. $\angle \mathrm{Q}={43}^{°}$ and the given angle is $\angle \mathrm{S}$ .

Calculation:

Draw a line segment $\overline{\mathrm{P}\mathrm{R}}$ , $\overline{\mathrm{T}\mathrm{R}}$ and a common tangent.

  

Inscribed angle $=\frac{1}{2}$ intercepted arcs

  $\begin{array}{l}\mathrm{m}\angle \mathrm{Q}=\frac{1}{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{P}\mathrm{R}\right)\\ \Rightarrow 2\mathrm{m}\angle \mathrm{Q}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{P}\mathrm{R}\right)\\ \Rightarrow 2\cdot {43}^{°}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{P}\mathrm{R}\right)\\ \Rightarrow \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{P}\mathrm{R}\right)={86}^{°}\end{array}$

Tangent chord angle $=\frac{1}{2}$ intercepted arc

  $\begin{array}{l}\mathrm{m}\angle \mathrm{R}\mathrm{P}\mathrm{X}=\frac{1}{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{P}\mathrm{R}\right)\\ =\frac{1}{2}\cdot {86}^{°}\\ ={43}^{°}\end{array}$

Similarly $\mathrm{m}\angle \mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{X}={43}^{°}$ .

Now,

  $\begin{array}{l}\mathrm{m}\angle \mathrm{P}\mathrm{X}\mathrm{R}={180}^{°}-\mathrm{m}\angle \mathrm{R}\mathrm{P}\mathrm{X}-\mathrm{m}\angle \mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{X}\\ ={180}^{°}-{43}^{°}-{43}^{°}\\ ={94}^{°}\\ \mathrm{m}\angle \mathrm{T}\mathrm{X}\mathrm{R}={180}^{°}-\mathrm{m}\angle \mathrm{P}\mathrm{X}\mathrm{R}\\ ={180}^{°}-{94}^{°}\\ ={86}^{°}\end{array}$

Use tangent- tangent angle property.

  $\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{T}\mathrm{R}\right)+\mathrm{m}\angle \mathrm{T}\mathrm{X}\mathrm{R}={180}^{°}\\ \Rightarrow \mathrm{m}\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{T}\mathrm{R}\right)={180}^{°}-\mathrm{m}\angle \mathrm{T}\mathrm{X}\mathrm{R}\\ \Rightarrow \mathrm{m}\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{T}\mathrm{R}\right)={180}^{°}-{86}^{°}\\ \Rightarrow \mathrm{m}\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{T}\mathrm{R}\right)={94}^{°}\end{array}$

Inscribed angle $=\frac{1}{2}$ intercepted arcs

  $\begin{array}{l}\mathrm{m}\angle \mathrm{S}=\frac{1}{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\left(\mathrm{T}\mathrm{R}\right)\\ =\frac{1}{2}\cdot {94}^{°}\\ ={47}^{°}\end{array}$

Hence the value of the angle $\mathrm{m}\angle \mathrm{S}={47}^{°}$ .