ACTIVIDAD 8. e Y p

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Universidad Nacional de Asuncion *

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AUDITING

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Nov 24, 2024

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ACTIVIDAD 8 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Se llama prueba de Bernoulli a la realización de un experimento aleatorio donde solo son posibles dos resultados (llamados tradicionalmente éxito y fracaso), mutuamente excluyente. Se define entonces una variable aleatoria x que atribuye dos valores distintos ( se utiliza normalmente 0 y 1)a los dos resultados distintos. Si p es la probabilidad de “éxito” y q = 1 – p, es la probabilidad de “ fracaso”. Esperanza matemática: medida numérica de tendencia central y promedio representativo de la serie: E ( x ) = p Una variable aleatoria sigue una distribución Binomial de Bernoulli si se verifica: -En cada realización del experimento solo son posibles dos resultados. -El resultado obtenido en cada realización es independiente de los obtenidos anteriormente. -La probabilidad del resultados A ( éxito) y la probabilidad del resultado B ( fracaso) no varía a lo largo del experimento. -Si p es la probabilidad de que se verifique el resultado A y q la probabilidad de que se verifique el resultado B : p + q = 1. Si el experimento dicotómico se repite varias veces, llamaremos n al número de veces que se repite el experimento. La variable que representará el total de éxitos en n pruebas, denominaremos: x P ( x )= n C x . p x . q n − x Esperanza matemática: E ( x ) = n . p Varianza: σ 2 = n . p . q Desviación típica: σ = √ n . p . q Definición: En estadística, la distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos Ejemplo 41: La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad

b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contraigan la enfermedad Solución Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72) a ) P ( x = 15 ) 15 C 15 ( 0 , 72 ) 15 ( 0 , 28 ) 0 = 0 , 00724 b ) P ( x = 0 )= 15 C 0 ( 0 , 72 ) 0 ( 0 , 28 ) 15 = 5 , 097.10 − 9 c ) P ( x = 13 )= 15 C 13 ( 0 , 72 ) 13 ( 0 , 28 ) 2 = 0 , 11503 ACTIVIDAD 8 1. Se lanzan simultáneamente 7 monedas, cuál es la probabilidad de que salgan : a) 2 caras. b) ninguna cara. 2. Se sabe que en Asunción el 70% de las familias viven en hogares propios. Si se selecciona al azar a 4 familias de manera que todas las familias tengan la misma probabilidad de ser seleccionadas. Determine la probabilidad de que: a) ninguno viva en hogar propio. b) 3 de ellas vivan en hogares propios. 3. La probabilidad de que un cerrojo sea defectuoso es 0,12. Hallar la probabilidad de que de un lote de 8 cerrojos , a) 4 sean defectuosos. b) Al menos uno sea defectuosos.

4. La probabilidad de que un estudiante se gradúe en cinco años es 0,55. Calcula para un grupo de 6 estudiantes, la probabilidad de que: a) Los 6 se gradúen. b) Al menos uno se gradúe. c) Menos de 3 se gradúen. 5. La probabilidad de que una jugadora de golf haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia es 0,2. Si lo intenta 5 veces, calcular la probabilidad de que: a) no acierte ninguna. b) Como máximo acierte tres veces 6. La probabilidad de nacer varón es 51%. Hallar la probabilidad de que en una familia de 4 hijos, haya tenido: a) 3 varones. b) Al menos 1 varón

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7. Se ha estudiado que 1 / 3 de los alumnos de secundaria no leen nunca la prensa diaria. Tomando una muestra al azar de 10 alumnos . Determine la probabilidad que dos alumnos que no leen la prensa. 8. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. 9. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: a)Las cinco personas b) Al menos tres personas 2.1Distribución de Poisson La distribución de Poisson debe su nombre a Simeón Denis Poisson (1781 – 1840), un francés que

desarrollo la distribución a partir de los estudios que realizó durante la última parte de su vida. La distribución de Poisson se utiliza para describir cierto tipo de procesos, entre los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, la demanda (necesidades) de los pacientes que requieren servicios de una institución de salud, la llegada de camiones y automóviles a una caseta de cobro y el número de accidentes registrados en una cierta intersección de calle. Estos ejemplos tienen en común un elemento: pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, 3, etc). El número de pacientes que llegan al consultorio de un médico en un cierto intervalo será de 0, 1, 2, 3 o algún otro número entero. De manera parecida, si usted cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro de alguna carretera durante un periodo de 10 minutos, el número será 0, 1, 2, 3, 4, 5 y a así consecutivamente. Condición de la Probabilidad de Poisson 1. El experimento consiste en contar el número “x” de veces que ocurre un evento en particular durante una unidad de tiempo dada, o en un área o volumen dado. 2. La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiempo, área o volumen es la misma para todas las unidades. 3. El número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, área o volumen es independiente del número de los que ocurren en otras unidades. 4. El número medio (o esperado) de eventos en cada unidad se denota por la letra griega  (“lambda”) Fórmula: P ( x ) = λ x ∗ e − λ x ! e : 2,7183

λ : denota el número de eventos que ocurren en una unidad dada de tiempo, área o volumen(promedio=µ) x : número específico de eventos que ocurren durante una unidad dada de tiempo, área o volumen (variable aleatoria) x ! : factorial de x P(x) : denota la probabilidad de que ocurran “x” eventos en una unidad dada de tiempo, área o volumen. Media y Varianza: Media: μ = λ Varianza: σ 2 = λ Observación: La varianza en la distribución de Poisson también es igual a su media. Ejemplo : Los registros policiales indican una media de cinco accidentes mensuales en cierta intersección. El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson, y el departamento de seguridad de tránsito desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 0, 1, 2, 3 o 4 accidentes. Solución: Se aplica: P ( x ) = λ x ∗ e λ x! para cada valor de x = 0, 1, 2, 3 y 4; λ = 5 x = 0 ; p ( x = 0 ) = 5 0 ∗ e − 5 0 ! = 0,0067 x = 1 ; p ( x = 1 ) = 5 1 ∗ e − 5 1 ! = 0,0337 x = 2 ; p ( x = 2 ) = 5 2 ∗ e − 5 2 ! = 0,0842 x = 3 ; p ( x = 3 ) = 5 3 ∗ e − 5 3 ! = 0,1404 x = 4 ; p ( x = 4 ) = 5 4 ∗ e − 5 4 ! = 0,1755 Ejemplo :

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Una compañía de seguros de vida determina, que la probabilidad de que un hombre de 25 años muera en un lapso de un año, es 0,0002. Si este año la compañía vende 4.000 pólizas a hombres de 25 años, ¿cuál es la probabilidad de que la compañía tenga que pagar exactamente una póliza? Solución: λ = n*p λ = 4000*0,0002 = 0,8 Se pide: P ( x = 1 ) = 0,8 1 ∗ 2,7183 − 0,8 1 ! = 0,3595 ACTIVIDADES 1.En una distribución de Poisson µ = 0,4 . a) ¿Cuál es la probabilidad de que x = 0 ? R: 0,6703 b) ¿Cuál es la probabilidad de que x > 0 ? R: 0,3297 1. La señora Bergen está encargada de los préstamos en el banco Coast Bank Trust. Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es 0,025. El mes pasado realizó 40 préstamos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no sean pagados a tiempo?. R: 0,0613 b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres préstamos no se

liquiden a tiempo? R: 0,0803 2. Se estima que 0,5% de las llamadas telefónicas al departamento de facturación de la U.S. West Telephone Company, reciben la señal de ocupado. ¿Cuál es la probabilidad de que las 1200 llamadas del día de hoy, por lo menos 5 hayan recibido dicha señal? R: µ = 6; P ( x ≥ 5 ) = 0,7149 3. La empresa responsable de imprimir papel moneda en los EUA tiene una baja frecuencia de errores de impresión; sólo 0,5% de los billetes presentan errores graves que no permiten su circulación. ¿Cuál es la probabilidad de que de un fajo de 1000 billetes? a) Ninguno presente errores graves?. R: 0,00674 b) Diez presenten errores que no permitan su circulación?. R: 0,01813 c) Quince presenten errores que no permitan su circulación?. R: 0,00016

4. Si el 3% de las válvulas manufacturadas por una compañía son defectuosas. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 válvulas : a) 0 b) 1 c) Más de 5 d) Entre 1 y 3 e) no más de 2 válvulas sean defectuosas 5. Una compañía telefónica recibe llamadas a razón de 4 por minuto. Calcular la probabilidad de: a) Recibir 2 llamadas en un minuto

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b) No recibir ninguna llamada en un minuto. c) Recibir menos de 3 llamadas en un minuto 6. En una empresa el término medio de accidentes es de 3 por mes. Determine la probabilidad de que: a) No ocurra ningún accidente en un mes. b) Como máximo ocurran 2 accidentes en un mes

7. En base a la experiencia anterior el 7% de todos los comprobantes de gastos de almuerzo están equivocados. Si se selecciona una muestra de 50 comprobantes, cual es la probabilidad de que: a) Exactamente uno esté equivocado? b) Por lo menos dos estén equivocados? 8. El gerente de control de calidad de una determinada marca de galletitas está inspeccionando un lote recién horneado de galletas con chispitas de chocolate. Si el proceso de producción está bajo control el número promedio de chispistas por galleta es 6. Cuál es la probabilidad de que en cualquier galleta en ´particular que se inspeccione se encuentren: a) Menos de cinco chispitas? R:0,285 b) Exactamente 5 chispitas? R:0,1606

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