NTM3B_supp_C12直角坐標幾何
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School
South Seattle College *
*We aren’t endorsed by this school
Course
MISC
Subject
Mathematics
Date
Nov 24, 2024
Type
doc
Pages
38
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第
12
章
直角坐標幾何
12.1
第
12
章
直角坐標幾何
【本章各練習均中英對照，以供參考。】
熱身練習
1.
求下列各直角三角形的未知數。
(
如有需
要，答案以根式表示。
)
1.
Find the unknown in each of the
following right-angled triangles. (Leave
your answers in surd form if necessary.)
(a)
C
A
6 cm
B
x
cm
8 cm
(b)
C
28 m
A
14 m
B
y
m
(c)
5 m
B
A
C
z
m
z
m
2.
求下列各梯形中的未知量。
2.
Find the unknowns in each of the
following trapeziums.
(a)
D
120
C
A
B
78
x
y
(b)
75
x
82
y
C
B
A
D
(c)
A
107
x
y
x
1
B
C
D
3.
求下列各平行四邊形中的未知數。
3.
Find the unknowns in each of the
following parallelograms.
(a)
C
8 cm
D
B
y
cm
A
x
cm
5 cm
(b)
Q
(2
y
3) cm
P
S
R
10 cm
4 cm
(
x
2) cm
(c)
W
T
x
cm
5 cm
X
Y
Z
3 cm
y
cm
12.2
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
4.
求下列各長方形中的
x
和
y
。
4.
Find
x
and
y
in each of the following
rectangles.
(a)
B
12 cm
(
y
2) cm
A
C
D
6 cm
4
x
cm
(b)
y
50
D
C
A
B
x
35
(c)
A
5 cm
y
cm
x
cm
B
C
D
5.
求下列各菱形中的未知數。
5.
Find the unknown in each of the
following rhombuses.
(a)
C
3 cm
B
A
D
5 cm
x
cm
(b)
8 cm
y
cm
A
B
C
D
15 cm
(c)
z
cm
B
C
A
D
24 cm
10 cm
強化練習
【本部分為書中每個練習額外提供兩種不同的題目組合：「初級組合」和「高級組合」。同學可按其需要選擇完
成
其中一組
題目。】
練習
12A
【本練習中，如有需要，答案以根式表示。】
初
級
組
合
程度一
1.
試把下列各組
A
和
B
的坐標與其對應的
距離連接起來。
1.
Match the coordinates of
A
and
B
with
their corresponding distances.
A
和
B
的坐標
Coordinates of
A
and
B
AB
的距離
Distance of
AB
A
(0, 0),
B
(3, 2)
45
A
(4,
3),
B
(1, 3)
104
A
(
5, 2),
B
(5, 4)
34
A
(
1,
5),
B
(
4,
10)
13
練習
12A
初
級組合
練習
12A
初
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.3
2.
求下列各題中
P
和
Q
的距離。
(a)
P
(0, 0),
Q
(4, 2)
(b)
P
(5, 4),
Q
(2, 2)
(c)
P
(3, 3),
Q
(7, 7)
(d)
P
(5, 2),
Q
(3, 6)
2.
Find the distance between
P
and
Q
in
each of the following.
(a)
P
(0, 0),
Q
(4, 2)
(b)
P
(5, 4),
Q
(2, 2)
(c)
P
(3, 3),
Q
(7, 7)
(d)
P
(5, 2),
Q
(3, 6)
3.
求下列各題中
E
和
F
的距離。
(a)
E
(
4, 5),
F
(3,
2)
(b)
E
(2,
1),
F
(4,
5)
(c)
E
(
8, 4),
F
(
6,
3)
(d)
E
(
5,
4),
F
(2,
3)
3.
Find the distance between
E
and
F
in
each of the following.
(a)
E
(
4, 5),
F
(3,
2)
(b)
E
(2,
1),
F
(4,
5)
(c)
E
(
8, 4),
F
(
6,
3)
(d)
E
(
5,
4),
F
(2,
3)
4.
已知
A
(0, 0)
、
B
(1, 1)
和
C
(4, 2)
為
ABC
的頂點。求
ABC
的周界。
4.
Given that
A
(0, 0),
B
(1, 1) and
C
(4, 2)
are the vertices of
ABC
, find the
perimeter of
ABC
.
程度二
5.
已知
ABC
的頂點為
A
(2,
2)
、
B
(2, 4)
和
C
(5, 3)
。求
ABC
的面積。
5.
Given that the vertices of
ABC
are
A
(2,
2),
B
(2, 4) and
C
(5, 3), find the
area of
ABC
.
6.
下圖中，
PQR
的頂點為
P
(4, 2)
、
Q
(3, 6)
和
R
(
8,
1)
。
6.
In the figure, the vertices of
PQR
are
P
(4, 2),
Q
(3, 6) and
R
(
8,
1).
Q
(3, 6)
x
y
P
(4, 2)
R
(
8,
1)
O
(a)
求證
PQ
PR
。
(b)
求
PRQ
。
(
答案準確至
3
位有效數
字。
)
(a)
Prove that
PQ
PR
.
(b)
Find
PRQ
. (Correct your answer to
3 significant figures.)
高
級
組
合
練習
12A
高
級組合
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12.4
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
程度一
1.
求下列各題中
A
和
B
的距離。
(a)
A
(3, 4),
B
(5, 7)
(b)
A
(9, 3),
B
(10, 5)
(c)
A
(4, 1),
B
(2, 5)
(d)
A
(10, 12),
B
(6, 15)
1.
Find the distance between
A
and
B
in
each of the following.
(a)
A
(3, 4),
B
(5, 7)
(b)
A
(9, 3),
B
(10, 5)
(c)
A
(4, 1),
B
(2, 5)
(d)
A
(10, 12),
B
(6, 15)
2.
已知
A
(0, 0)
、
B
(3, 4)
和
C
(5, 7)
為
ABC
的頂點。求
ABC
的周界。
2.
Given that
A
(0, 0),
B
(3, 4) and
C
(5, 7)
are the vertices of
ABC
, find the
perimeter of
ABC
.
3.
已知四邊形
ABCD
的頂點為
A
(
2,
3)
、
)
4
,
2
1
3
(
B
、
C
(5,
2)
和
)
5
,
2
1
(
D
。
求
ABCD
的周界。
3.
Given that the vertices of quadrilateral
ABCD
are
A
(
2,
3),
,
)
4
,
2
1
3
(
B
C
(5,
2) and
,
)
5
,
2
1
(
D
find the
perimeter of
ABCD
.
程度二
4.
C
為
x
軸上的一點。若
A
(2, 1)
和
B
(
4, 5)
與
C
的距離相等，求
C
的坐標。
4.
C
is a point on the
x
-axis. If the
respective distances from
A
(2, 1) and
B
(
4, 5)
to
C
are equal, find the
coordinates of
C
.
5.
下圖中，
ABC
的頂點為
A
(11,
2)
、
B
(2,
0)
和
C
(3,
4)
。
5.
In the figure, the vertices of
ABC
are
A
(11,
2),
B
(2, 0) and
C
(3,
4).
O
y
x
B
(2, 0)
C
(3,
4)
A
(11,
2)
(a)
求證
AC
BC
。
(b)
由此，求
BAC
。
(
答案準確至
3
位有
效數字。
)
(a)
Prove that
AC
BC
.
(b)
Hence find
BAC
. (Correct your
answer to 3 significant figures.)
練習
12A
高
級組合
練習
12B
初
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.5
6.
已知四點
A
(1,
6)
、
B
(
7,
5)
、
C
(
3, 2)
和
D
(3, 0)
。
(a)
求證
ABCD
是一個鳶形。
(b)
求證
AC
BD
。
(c)
由此，求
ABCD
的面積。
6.
Given four points
A
(1,
6),
B
(
7,
5),
C
(
3, 2) and
D
(3, 0),
(a)
prove that
ABCD
is a kite.
(b)
prove that
AC
BD
.
(c)
Hence find the area of
ABCD
.
練習
12B
初
級
組
合
程度一
1.
試把下列各組
A
和
B
的坐標與其對應的
斜率連接起來。
1.
Match the following coordinates of
A
and
B
with their corresponding slopes.
A
和
B
的坐標
Coordinates of
A
and
B
AB
的斜率
Slope of
AB
A
(4, 2),
B
(2, 3)
3
A
(
5, 3),
B
(
4, 6)
6
1
A
(0, 0),
B
(3, 5)
3
5
A
(
2,
3),
B
(4,
2)
2
1
2.
求下列各題中穿過已知兩點的直線之斜
率。
2.
Find the slope of the straight line
passing through each of the following
pairs of points.
(a)
O
A
(1, 1)
B
(3, 3)
x
y
(b)
A
(2, 1)
B
(4, 4)
y
x
O
(c)
A
(
1,
2)
B
(4, 3)
y
x
O
12.6
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
3.
求下列各題中穿過已知兩點的直線之斜
率。
3.
Find the slope of the straight line
passing through each of the following
pairs of points.
(a)
O
B
(
5, 3)
y
x
A
(0, 0)
(b)
O
y
x
A
(
2, 3)
B
(5,
2)
(c)
O
y
x
A
(
4, 0)
B
(3,
5)
4.
以下是線段
AB
、
CD
、
EF
和
GH
各端點的
坐標。試把各線段按斜率由大至小排列。
AB
:
A
(1, 2),
B
(3, 5)
CD
:
C
(
3, 4),
D
(
6, 1)
EF
:
E
(6,
1),
F
(8, 9)
GH
:
G
(4, 6),
H
(
2, 6)
4.
The following are the coordinates of
vertices of line segments of
AB
,
CD
,
EF
and
GH
. Arrange the line segments
under the descending order of their
slopes.
AB
:
A
(1, 2),
B
(3, 5)
CD
:
C
(
3, 4),
D
(
6, 1)
EF
:
E
(6,
1),
F
(8, 9)
GH
:
G
(4, 6),
H
(
2, 6)
5.
已知穿過
A
(3, 1)
和
B
(4,
y
)
的直線之斜率
是
2
，求
y
的值。
5.
Given that the slope of the straight line
passing through
A
(3, 1) and
B
(4,
y
) is 2,
find the value of
y
.
6.
若
P
(
2,
10)
、
Q
(0,
4)
和
R
(
a
, 2)
三點共
線，求
a
的值。
6.
If three points
P
(
2,
10),
Q
(0,
4) and
R
(
a
, 2) are collinear, find the value of
a
.
程度二
7.
已知穿過
A
(
a
,
3)
和
B
(2
a
, 3)
的直線之斜
率為
2
1
，求
a
的值。
7.
Given that the slope of the straight line
passing through
A
(
a
,
3) and
B
(2
a
, 3)
is
2
1
, find the value of
a
.
練習
12B
初
級組合
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練習
12B
初
級組合
練習
12B
高
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.7
8.
已知三點
A
(
3, 4)
、
B
(5,
2)
和
P
(3,
k
)
。若
BP
的斜率等於
AB
與
AP
的斜率之積，求
k
的值。
8.
For three points
A
(
3, 4),
B
(5,
2) and
P
(3,
k
), if the slope of
BP
is equal to the
product of the slopes of
AB
and
AP
, find
the value of
k
.
O
y
x
A
(
3, 4)
B
(5,
2)
P
(3,
k
)
高
級
組
合
程度一
1.
求下列各題中穿過已知兩點的直線之斜
率。
1.
Find the slope of the straight line
passing through each of the following
pairs of points.
(a)
O
y
x
A
(
2,
3)
B
(4, 5)
(b)
O
y
x
A
(
2, 0)
B
(4, 3)
(c)
O
y
x
A
(
3,
1)
B
(5, 4)
(d)
O
y
x
A
(1, 9)
B
(3, 4)
(e)
O
y
x
A
(2, 4)
B
(4,
2)
(f)
B
(3,
1)
O
y
x
A
(
4, 2)
12.8
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
2.
求下列各題中穿過
A
和
B
的直線之斜率。
(a)
A
(3, 4),
B
(5, 6)
(b)
A
(2, 3),
B
(
4, 5)
(c)
A
(
3, 1),
B
(6, 2)
(d)
A
(
2,
1),
B
(
4,
3)
(e)
A
(0, 3),
B
(
7, 2)
(f)
A
(
5, 2),
B
(3, 0)
(g)
A
(
4,
1),
B
(
3
2
,
2)
(h)
A
(
1,
2),
B
(
2
1
,
3
2
)
2.
Find the slope of the straight line
passing through each of the following
pairs of points
A
and
B
.
(a)
A
(3, 4),
B
(5, 6)
(b)
A
(2, 3),
B
(
4, 5)
(c)
A
(
3, 1),
B
(6, 2)
(d)
A
(
2,
1),
B
(
4,
3)
(e)
A
(0, 3),
B
(
7, 2)
(f)
A
(
5, 2),
B
(3, 0)
(g)
A
(
4,
1),
B
(
3
2
,
2)
(h)
A
(
1,
2),
B
(
2
1
,
3
2
)
3.
以下是線段
AB
、
CD
、
EF
和
GH
各端點的
坐標。試把各線段按斜率由小至大排列。
AB
:
A
(0, 5),
B
(5, 0)
CD
:
C
(0, 3),
D
(5, 1)
EF
:
E
(1, 9),
F
(3, 4)
GH
:
G
(2, 4),
H
(3, 1)
3.
The following are the coordinates of the
vertices of line segments
AB
,
CD
,
EF
and
GH
. Arrange the line segments
under
the ascending order of their
slopes.
AB
:
A
(0, 5),
B
(5, 0)
CD
:
C
(0, 3),
D
(5, 1)
EF
:
E
(1, 9),
F
(3, 4)
GH
:
G
(2, 4),
H
(3, 1)
4.
求證下列各點共線。
(a)
A
(
3, 2),
B
(0, 2),
C
(4, 2)
(b)
D
(
3, 4),
E
(
3, 0),
F
(
3, 5)
(c)
L
(1,
1),
M
(2,
2),
N
(
7, 7)
(d)
P
(0, 3),
Q
(1, 1),
R
(3,
3)
4.
Prove that each of the following sets of
points are collinear.
(a)
A
(
3, 2),
B
(0, 2),
C
(4, 2)
(b)
D
(
3, 4),
E
(
3, 0),
F
(
3, 5)
(c)
L
(1,
1),
M
(2,
2),
N
(
7, 7)
(d)
P
(0, 3),
Q
(1, 1),
R
(3,
3)
5.
已知穿過
A
(2, 4)
和
B
(5,
a
)
的直線之斜率
為
1
，求
a
的值。
5.
Given that the slope of the straight line
passing through
A
(2, 4) and
B
(5,
a
) is 1,
find the value of
a
.
練習
12B
高
級組合
練習
12B
高
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.9
程度二
6.
已知穿過
)
3
4
,
0
(
A
和
B
(2,
2)
的直線之斜
率等於穿過
M
(
4, 8)
和
)
3
1
,
(
x
N
的直
線之斜率。求
x
的值。
6.
Given that the slope of the straight line
passing through
)
3
4
,
0
(
A
and
B
(2,
2) is
equal to the slope of the straight line
passing
through
M
(
4, 8)
and
)
3
1
,
(
x
N
, find the value of
x
.
7.
已知三點
A
(
3, 4)
、
B
(5,
2)
和
P
(3,
k
)
。若
AB
的斜率等於
AP
與
BP
的斜率之和，求
k
的值。
7.
For three points
A
(
3, 4),
B
(5,
2) and
P
(3,
k
), if the slope of
AB
is equal to the
sum of the slopes of
AP
and
BP
, find the
value of
k
.
O
y
x
A
(
3, 4)
B
(5,
2)
P
(3,
k
)
8.
已 知 直 線
L
是 方 程
3
x
4
y
6
0
的 圖
像。
(a)
若
(
a
, 3)
和
(
6,
b
)
是
L
上 的 點 ，求
a
和
b
的值。
(b)
由此，求
L
的斜率。
8.
The straight line
L
is the graph of the
equation 3
x
4
y
6
0.
(a)
If (
a
, 3) and (
6,
b
) are points on
L
,
find the values of
a
and
b
.
(b)
Hence find the slope of
L
.
9.
已知
A
(
a
,
b
)
在方程
y
3
x
5
的圖像上。
(a)
試以
a
表示
b
。
(b)
由此，以
a
表示
A
的坐標。
(c)
若
A
是方程
y
3
x
5
的圖像與穿過
P
(13, 12)
和
Q
(
7,
4)
的 直 線 之 交
點，試利用
(b)
小題的結果，求
A
的
坐標。
9.
It is given that
A
(
a
,
b
) is a point on the
graph of the equation
y
3
x
5.
(a)
Express
b
in terms of
a
.
(b)
Hence express the coordinates of
A
in terms of
a
.
(c)
If
A
is the point of intersection of
the graph of the equation
y
3
x
5
and the straight line passing through
P
(13, 12) and
Q
(
7,
4), find the
coordinates of
A
by using the result
of
(b)
.
練習
12C
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練習
12C
初
級組合
12.10
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
初
級
組
合
程度一
1.
下列各直線中，哪對是平行線？
1.
Which of the following straight lines are
a pair of parallel lines?
直線
Straight line
斜率
Slope
L
1
2
L
2
3
L
3
1
L
4
2
L
5
2
2.
在下列各直線中，哪些是平行線？
2.
Which of the following straight lines are
parallel lines?
直線
Straight line
直線上的點
Points on straight line
L
1
(2, 2), (4, 4)
L
2
(1, 0), (2, 1)
L
3
(4, 2), (2, 4)
L
4
(3,
1), (
3, 1)
L
5
(5, 6), (6, 7)
3.
已知
A
(
3,
2)
、
B
(
4,
5)
、
C
(6, 5)
和
D
(7,
8)
四點。求證
AD
BC
。
3.
Given four points
A
(
3,
2),
B
(
4,
5),
C
(6, 5) and
D
(7, 8), prove that
AD
BC
.
4.
已知直線
L
1
的斜率是
4
，而直線
L
2
穿
過
A
(
2, 3)
和
B
(
3, 7)
。求證
L
1
L
2
。
4.
Given that the slope of straight line
L
1
is
4, and straight line
L
2
passes
through
A
(
2, 3) and
B
(
3, 7), prove
that
L
1
L
2
.
5.
已知
L
1
和
L
2
是兩條平行線。若
L
2
的斜
率 是
2
， 而 直 線
L
1
穿 過
P
(4, 9)
和
Q
(1,
b
)
，求
b
的值。
5.
Given that
L
1
and
L
2
are two parallel
lines, if the slope of
L
2
is
2, and
straight line
L
1
passes through
P
(4, 9) and
Q
(1,
b
), find the value of
b
.
程度二
練習
12C
初
級組合
練習
12C
高
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.11
6.
已知
L
1
和
L
2
是兩條平行線。若
L
1
的斜率
是
k
，而直線
L
2
穿過
A
(3, 2
k
11)
和
B
(5,
9)
，求
k
的值。
6.
Given that
L
1
and
L
2
are two parallel
lines, if the slope of
L
1
is
k
, and straight
line
L
2
passes through
A
(3, 2
k
11) and
B
(5, 9), find the value of
k
.
7.
若穿過
A
(
2, 3)
和
B
(
a
,
4)
的直線與穿過
C
(6,
3)
和
D
(
5,
10)
的直線互相平行，
求
a
的值。
7.
If the straight line passing through
A
(
2, 3) and
B
(
a
,
4)
is parallel to the
straight line passing through
C
(6,
3)
and
D
(
5,
10)
, find the value of
a
.
8. (a)
已知四邊形的頂點為
A
(4,
2)
、
B
(0,
1)
、
C
(
3, 0)
和
D
(1,
3)
。求該四邊形
四條邊的斜率。
(b)
問該四邊形是哪一類四邊形？
8. (a)
Given that the vertices of a
quadrilateral are
A
(4,
2),
B
(0, 1),
C
(
3, 0) and
D
(1,
3), find the slopes
of the four sides of the quadrilateral.
(b)
What kind of quadrilateral is it?
高
級
組
合
程度一
1.
下列各直線中，哪對是平行線？
1.
Which of the following straight lines are
a pair of parallel lines?
直線
Straight line
直線上的點
Points on straight line
L
1
(2, 3), (4, 5)
L
2
(0,
3), (1,
4)
L
3
(0, 2), (2, 4)
L
4
(
4, 3), (
2, 5)
L
5
(
7,
2), (3, 4)
2.
已知
)
2
,
2
1
(
A
、
B
(1, 1)
、
)
2
1
,
1
(
C
和
)
2
3
,
2
1
(
D
四點。求證
AB
CD
。
2.
Given four points
,
)
2
,
2
1
(
A
B
(1, 1),
)
2
1
,
1
(
C
and
)
2
3
,
2
1
(
D
, prove
that
AB
CD
.
12.12
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
3.
已知直線
L
1
的斜率是
3
2
，而直線
L
2
穿
過
A
(0, 3)
和
B
(3, 5)
。求證
L
1
L
2
。
3.
Given that the slope of straight line
L
1
is
3
2
, and straight line
L
2
passes through
A
(0, 3) and
B
(3, 5)
, prove that
L
1
L
2
.
4.
若 穿 過
A
(4,
b
)
和
B
(3, 2)
的 直 線 與 穿 過
C
(
1, 2)
和
D
(3, 5)
的直線互相平行，求
b
的值。
4.
If the straight line passing through
A
(4,
b
) and
B
(3, 2) is parallel to the
straight line passing through
C
(
1, 2)
and
D
(3, 5)
, find the value of
b
.
程度二
5.
已知
A
(3, 5)
、
B
(
3,
2)
、
C
(4,
1)
和
D
(
a
,
b
)
四點。若
ABCD
是平行四邊形，求
D
的坐標。
5.
Given four points
A
(3, 5),
B
(
3,
2),
C
(4,
1) and
D
(
a
,
b
), if
ABCD
is a
parallelogram, find the coordinates of
D
.
6.
已知四邊形的頂點為
)
7
,
4
1
2
(
P
、
)
2
,
4
1
2
(
Q
、
R
(
5, 2)
和
S
(
5,
7)
。
(a)
求該四邊形每條邊的斜率。
(b)
求該四邊形每條邊的邊長。
(c)
問該四邊形是哪一類四邊形？
6.
It is given that the vertices of a
quadrilateral
are
,
)
7
,
4
1
2
(
P
,
)
2
,
4
1
2
(
Q
R
(
5, 2) and
S
(
5,
7).
(a)
Find the slope of each side.
(b)
Find the length of each side.
(c)
What kind of quadrilateral is it?
7.
已知直線
L
1
和
L
2
分別是方程
3
x
6
y
0
和
x
2
y
8
0
的圖像。
(a)
若
(2,
a
)
和
(
4,
b
)
是
L
1
上的點，求
a
和
b
的值。
(b)
若
(
p
, 4)
和
(
q
,
6)
是
L
2
上的點，求
p
和
q
的值。
(c)
由此，求證直線
L
1
和
L
2
是一組平行
線。
7.
It is given that
L
1
and
L
2
are the graphs
of the equations 3
x
6
y
0
and
x
2
y
8
0 respectively.
(a)
If (2,
a
) and (
4,
b
) are points on
L
1
,
find the values of
a
and
b
.
(b)
If (
p
, 4) and (
q
,
6) are points on
L
2
,
find the values of
p
and
q
.
(c)
Hence prove that
L
1
and
L
2
are
parallel lines.
練習
12C
高
級組合
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練習
12C
高
級組合
練習
12D
初
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.13
8.
已 知 直 線
L
是 方 程
7
x
6
y
5
0
的 圖
像，且
A
(
a
,
b
)
是
L
上的一點。
(a)
試以
a
表示
A
的坐標。
(b)
已知
B
(
2, 4)
、
C
(
5,
2)
和
D
(
1,
6)
三
點。若
ABCD
是一個梯形，其中
AB
CD
。試利用
(a)
小題的結果，求
A
的
坐標。
8.
It is given that straight line
L
is the
graph of the equation 7
x
6
y
5
0 and
A
(
a
,
b
) is a point on
L
.
(a)
Express the coordinates of
A
in
terms of
a
.
(b)
Given three points
B
(
2, 4),
C
(
5,
2)
and
D
(
1,
6), if
ABCD
is a
trapezium, where
AB
CD
, find the
coordinates of
A
by using the result
of
(a)
.
練習
12D
初
級
組
合
程度一
1.
在下列各直線中，哪對是垂直線？
1.
Which of the following straight lines are
a pair of perpendicular lines?
直線
Straight line
斜率
Slope
L
1
3
L
2
4
1
L
3
0
L
4
3
L
5
4
2.
在下列各直線中，哪些是垂直線？
2.
Which of the following straight lines are
perpendicular lines?
直線
Straight line
直線上的點
Points on straight line
L
1
(1, 1), (
2,
2)
L
2
(4, 3), (4,
2)
L
3
(3, 4), (1, 6)
L
4
(4,
5), (
2,
5)
L
5
(2, 4), (3,
3)
12.14
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
3.
在下列各題中，求垂直於已知兩點連線
的直線之斜率。
(a)
A
(2, 4),
B
(3, 6)
(b)
P
(9,
7),
Q
(
4,
3)
3.
In each of the following, find the slope
of a straight line perpendicular to the
straight line joining the points.
(a)
A
(2, 4),
B
(3, 6)
(b)
P
(9,
7),
Q
(
4,
3)
4.
已知
A
(2, 4)
、
B
(3, 6)
、
C
(7, 5)
和
D
(5, 6)
。
求證
AB
CD
。
4.
Given four points
A
(2, 4),
B
(3, 6),
C
(7, 5)
and
D
(5, 6), prove that
AB
CD
.
5.
若
A
(
16, 2)
、
B
(2,
1)
和
C
(4, 11)
分別為
ABC
的頂點，求證
ABC
是直角三角形。
5.
If
A
(
16, 2),
B
(2,
1) and
C
(4, 11) are
the vertices of
ABC
, prove that
ABC
is
a right-angled triangle.
6.
已知直線
L
1
和
L
2
互相垂直。若
L
1
的
斜
率是
3
且
L
2
穿過
A
(
a
,
5)
和
B
(14,
1)
，
求
a
的值。
6.
Given that straight lines
L
1
and
L
2
are
perpendicular to each other, if the slope
of
L
1
is
3 and
L
2
passes through
A
(
a
,
5) and
B
(14,
1), find the value of
a
.
7.
已知直線
L
1
和
L
2
互相垂直。若
L
1
的斜率
是
k
且
L
2
穿過
P
(6,
1)
和
Q
(2
k
,
6)
，求
k
的值。
7.
Given that straight lines
L
1
and
L
2
are
perpendicular to each other, if the slope
of
L
1
is
k
and
L
2
passes through
P
(6,
1)
and
Q
(2
k
,
6), find the value of
k
.
8.
下圖中，
AB
CD
。
8.
In the figure,
AB
C
D.
O
y
x
A
(1, 10)
B
(
4,
10)
C
(
6, 4)
D
(
h
,
1)
(a)
求
CD
的斜率。
(b)
求
h
的值。
(a)
Find the slope of
CD
.
(b)
Find the value of
h
.
練習
12D
初
級組合
練習
12D
初
級組合
練習
12D
高
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.15
程度二
9.
下 圖 中 ， 直 線
L
1
和
L
2
垂 直 交 於
A
(3,
7)
，而
L
1
和
L
2
與
x
軸分別相交於
B
點和
C
點。若
C
的坐標是
(10, 0)
，
9.
In the figure, straight lines
L
1
and
L
2
intersect perpendicularly at
A
(3, 7), and
L
1
and
L
2
intersect the
x
-axis at
B
and
C
respectively. If the coordinates of
C
are
(10, 0),
O
y
x
A
(3, 7)
C
(10, 0)
B
L
1
L
2
(a)
求
B
的坐標。
(b)
由此，求
ABC
的面積。
(a)
find the coordinates of
B
.
(b)
hence find the area of
ABC
.
10.
已知
A
(
a
,
b
)
、
B
(9, 4)
和
C
(6,
2)
滿足以下
條件︰
條件
I
：
AB
的斜率
11
2
條件
II
：
AC
BC
(a)
試根據條件
I
，以
b
表示
a
。
(b)
試根據條件
II
，以
b
表示
a
。
(c)
由此，求
A
的坐標。
10.
It is known that
A
(
a
,
b
),
B
(9, 4)
and
C
(6,
2)
satisfy the following conditions:
Condition I:
Slope of
AB
11
2
Condition II:
AC
BC
(a)
According to condition I, express
a
in terms of
b
.
(b)
According to condition II, express
a
in terms of
b
.
(c)
Hence find the coordinates of
A
.
高
級
組
合
程度一
1.
求垂直於已知兩點連線的直線之斜率。
(a)
A
(1, 4),
B
(9, 7)
(b)
)
3
2
2
,
3
1
(
),
2
,
3
1
1
(
Q
P
1.
Find the slope of a straight line
perpendicular to the straight line joining
each of the following pairs of points.
(a)
A
(1, 4),
B
(9, 7)
(b)
)
3
2
2
,
3
1
(
),
2
,
3
1
1
(
Q
P
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12.16
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
2.
已知
A
(5, 0)
、
B
(4, 3)
、
C
(
2, 6)
和
D
(
5,
5)
。求證
AB
CD
。
2.
Given four points
A
(5, 0),
B
(4, 3),
C
(
2, 6)
and
D
(
5, 5), prove that
AB
CD
.
3.
已知
A
(
4, 5)
、
B
(
6,
2)
、
C
(
2
1
,
2
1
)
和
D
(4,
2
1
)
。問線段
AB
、
BC
、
CD
和
AD
中
哪一組互相垂直？
3.
Given four points
A
(
4, 5),
B
(
6,
2),
C
(
2
1
,
2
1
) and
D
(4,
2
1
), which pair of
line segments among
AB
,
BC
,
CD
and
AD
are perpendicular to each other?
4.
已知
A
(4,
2)
、
B
(
3, 2)
和
C
(8, 5)
為
ABC
的頂點。求證
ABC
是直角三角形。
4.
Given that
A
(4,
2),
B
(
3, 2) and
C
(8, 5)
are the vertices of
ABC
, prove that
ABC
is a right-angled triangle.
5.
若 穿 過
A
(5, 2)
和
B
(
a
, 9)
的 直 線 垂 直 於
斜率為
7
3
的直線，求
a
的值。
5.
If the straight line passing through
A
(5, 2) and
B
(
a
, 9)
is perpendicular to a
straight line with the slope of
7
3
, find
the value of
a
.
6.
已 知 直 線
L
1
穿 過
A
(
2,
9)
和
B
(
2
1
,
4)
， 而 直 線
L
2
穿 過
C
(6,
2)
和
D
(
8,
h
)
。若
L
1
L
2
，求
h
的值。
6.
Given that straight line
L
1
passes through
A
(
2,
9) and
B
(
2
1
,
4), and straight line
L
2
passes through
C
(6,
2) and
D
(
8,
h
),
find the value of
h
if
L
1
L
2
.
7.
下 圖 中 ， 直 線
L
1
和
L
2
垂 直 交 於
A
(4,
7)
，而
L
1
和
L
2
與
x
軸分別相交於
B
點和
C
點。若
B
的坐標是
(
2, 0)
，
7.
In the figure, straight lines
L
1
and
L
2
intersect perpendicularly at
A
(4, 7), and
L
1
and
L
2
intersect the
x
-axis at
B
and
C
respectively. If the coordinates of
B
are
(
2, 0),
O
y
x
L
1
L
2
A
(4, 7)
B
(
2, 0)
C
練習
12D
高
級組合
練習
12D
高
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.17
(a)
求
L
1
的斜率。
(b)
求
L
2
的斜率。
(c)
求
C
的坐標。
(d)
由此，求
ABC
的面積。
(a)
find the slope of
L
1
.
(b)
find the slope of
L
2
.
(c)
find the coordinates of
C
.
(d)
Hence find the area of
ABC
.
程度二
8.
已 知
A
(5, 2)
和
B
(
3, 4)
兩 點 且
C
點 在
y
軸上。若
AB
AC
，求
C
的坐標。
8.
Given two points
A
(5, 2) and
B
(
3, 4),
and
C
lies on the
y
-axis, find the
coordinates of
C
if
AB
AC
.
9.
已知
A
(3, 8)
、
B
(
21, 19)
、
C
(
a
,
b
)
和
D
(9,
5)
四點。若
AC
BD
和
AD
BC
，求
C
的坐標。
9.
Given four points
A
(3, 8),
B
(
21, 19),
C
(
a
,
b
) and
D
(9,
5), find the coordinates
of
C
if
AC
BD
and
AD
BC
.
10.
已知直線
L
1
和
L
2
分別是方程
x
3
y
1
0
和
6
x
2
y
8
0
的圖像。
(a)
若
(5,
a
)
和
(
b
,
3)
是
L
1
上的點，求
a
和
b
的值。
(b)
若
(
p
, 2)
和
(9,
q
)
是
L
2
上的點 ，求
p
和
q
的值。
(c)
由此，求證直線
L
1
和
L
2
是一組垂直
線。
0
10.
It is given that straight lines
L
1
and
L
2
are
the graphs of the
equations
x
3
y
1
0
and
6
x
2
y
8
0
respectively.
(a)
If (5,
a
) and (
b
,
3) are points on
L
1
,
find the values of
a
and
b
.
(b)
If (
p
, 2) and (9,
q
) are points on
L
2
,
find the values of
p
and
q
.
(c)
Hence prove that
L
1
and
L
2
are
perpendicular lines.
11.
已知
A
(
a
,
b
)
在方程
2
x
3
y
10
0
的圖
像上。
(a)
試以
a
表示
A
的坐標。
(b)
若
A
(
a
,
b
)
、
B
(2, 12)
、
C
(
6, 2)
和
D
(
1,
2)
組成一個長方形，試利用
(a)
小
題的結果，求
A
的坐標。
11.
It is given that
A
(
a
,
b
) is a point on the
graph of the equation 2
x
3
y
10
0.
(a)
Express the coordinates of
A
in
terms of
a
.
(b)
If
A
(
a
,
b
),
B
(2, 12),
C
(
6, 2) and
D
(
1,
2) form a rectangle, find the
coordinates of
A
by using the result
of
(a)
.
練習
12E
12.18
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
初
級
組
合
程度一
1.
下列各圖中，
P
為線段
AB
上的中點，求
P
點的坐標。
1.
In each of the following figures,
P
is the
mid-point of line segment
AB
. Find the
coordinates of
P
.
(a)
y
x
A
(1, 2)
O
B
(5, 8)
P
(b)
y
x
A
(0, 0)
O
B
(7, 4)
P
(c)
y
x
B
(10, 1)
O
A
( , 5)
P
1
2
2.
下列各圖中，
P
為線段
AB
上的中點，求
P
點的坐標。
2.
In each of the following figures,
P
is the
mid-point of line segment
AB
. Find the
coordinates of
P
.
(a)
y
x
A
(
10,
4)
O
P
B
(
1,
1)
(b)
y
x
A
(
4,
1)
P
B
(
1,
4)
O
(c)
y
x
A
(
6,
4)
P
O
B
(0, 0)
3.
下列各圖中，
P
為線段
AB
上的一點，求
P
點的坐標。
3.
In each of the following figures,
P
is a
point on line segment
AB
. Find the
coordinates of
P
.
(a)
y
x
A
(1, 1)
O
B
(7, 4)
P
AP
PB
1
2
(b)
B
(
2,
1)
A
(
10, 5)
P
y
x
O
AP
PB
3
1
(c)
B
(2, 5)
A
(
4,
3)
P
y
x
O
AP
PB
2
3
練習
12E
初
級組合
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練習
12E
初
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.19
4.
若
P
是
A
(
12,
4)
和
B
(9,
6)
的中點，求
P
點的坐標。
4.
If
P
is the mid-point of
A
(
12,
4) and
B
(9,
6), find the coordinates of
P
.
5.
已知
A
(0,
4)
和
B
(3,
5)
兩點。若
P
點以
1
:
2
的比把線段
AB
分成兩部分，求
P
點的
坐標。
5.
Given two points
A
(0,
4) and
B
(3,
5)
, if
P
divides line segment
AB
in the ratio of
1
:
2, find the coordinates of
P
.
6.
已知
P
是
A
(
6,
4)
和
B
(
k
,
8)
的中點，
P
點
的
x
坐標是
4
，求
k
的值。
6.
Given that
P
is the mid-point of
A
(
6,
4)
and
B
(
k
,
8), and the
x
-coordinate of
P
is
4, find the value of
k
.
7.
已 知
P
(4,
2)
是
A
(
2,
a
)
和
B
(
b
,
8)
的 中
點，求
a
和
b
的值。
7.
Given that
P
(4,
2) is the mid-point of
A
(
2,
a
) and
B
(
b
,
8), find the values of
a
and
b
.
程度二
8.
若
P
(1,
1)
是
A
(
a
7,
2
a
)
和
B
(4
2
a
,
b
)
的中點，求
a
和
b
的值。
8.
If
P
(1,
1) is the mid-point of
A
(
a
7,
2
a
)
and
B
(4
2
a
,
b
), find the values of
a
and
b
.
9.
下圖中，
ABCD
是一個長方形。
E
是
AD
的 中點 ，
F
以
3
:
2
的 比把
BC
分成 兩部
分。
9.
In the figure,
ABCD
is a rectangle.
E
is
the mid-point of
AD
.
F
divides
BC
in the
ratio of 3
:
2.
A
(14, 16)
D
(
12, 6)
E
y
x
O
F
B
(19, 3)
C
(
7,
7)
練習
12E
高
級組合
12.20
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
(a)
求
E
和
F
的坐標。
(b)
求四邊形
CDEF
的周界。
(
答案準確
至小數點後一個位。
)
(a)
Find the coordinates of
E
and
F
.
(b)
Find the perimeter of quadrilateral
CDEF
. (Correct your answer to
1
decimal place.)
10.
下圖中，
R
以
1
:
r
的比把線段
PQ
分成兩
部分。
ABR
的面積是
5
個平方單位。
10.
In the figure,
R
divides
PQ
in the ratio
of 1
:
r
. The area of
ABR
is 5 square
units.
P
(
2, 1)
R
y
x
O
B
(3, 0)
A
(
1, 0)
Q
(4, 7)
PR
RQ
1
r
(a)
若以
AB
為
ABR
的底，試 以
r
表 示
ABR
的高度。
(b)
由此，求
r
的值。
(a)
If
AB
is the base of
ABR
, express
the height of
ABR
in terms of
r
.
(b)
Hence find the value of
r
.
高
級
組
合
程度一
1.
下列各圖中，
P
為線段
AB
上的中點，求
P
點的坐標。
1.
In each of the following figures,
P
is the
mid-point of line segment
AB
. Find the
coordinates of
P
.
(a)
O
P
B
(
6,
2)
y
x
A
(2, 4)
(b)
O
P
B
(1,
2)
y
x
A
(8, 4)
(c)
O
P
B
(0, 2)
y
x
A
(
2, 0)
練習
12E
初
級組合
練習
12E
高
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.21
2.
下列各圖中，
P
為線段
AB
上的一點，求
P
點的坐標。
2.
In each of the following figures,
P
is a
point on line segment
AB
. Find the
coordinates of
P
.
(a)
O
P
y
x
A
(1, 1)
B
(10, 5)
AP
PB
2
1
(b)
O
P
y
x
A
(
5,
6)
B
(4, 2)
AP
PB
2
3
(c)
O
P
y
x
A
(
2, 4)
B
(4,
4)
AP
PB
1
4
3.
在下列各題中，
M
是
A
和
B
的中點。求
M
點的坐標。
(a)
A
(
2,
4),
B
(6,
8)
(b)
A
(5,
3),
B
(3,
6)
(c)
A
(
4,
2),
B
(
6,
0)
(d)
)
2
,
4
1
3
(
),
5
,
4
1
(
B
A
3.
In each of the following,
M
is the mid-
point of
A
and
B
. Find the coordinates of
M
.
(a)
A
(
2,
4),
B
(6,
8)
(b)
A
(5,
3),
B
(3,
6)
(c)
A
(
4,
2),
B
(
6,
0)
(d)
)
2
,
4
1
3
(
),
5
,
4
1
(
B
A
4.
已 知
)
6
,
2
1
2
(
A
和
)
4
,
2
1
4
(
B
兩
點。若
P
點以
1
:
2
的比把線段
AB
分成兩
部分，求
P
點的坐標。
4.
Given two points
)
6
,
2
1
2
(
A
and
)
4
,
2
1
4
(
B
,
if
P
divides line
segment
AB
in the ratio of 1
:
2, find the
coordinates of
P
.
5.
若
P
(5,
3)
是
A
(
4,
a
)
和
B
(
b
,
7)
的中點，
求
a
和
b
的值。
5.
If
P
(5,
3) is the mid-point of
A
(
4,
a
)
and
B
(
b
,
7), find the values of
a
and
b
.
程度二
6.
若
A
(2
a
,
a
5)
和
B
(5
b
1,
4
b
1)
的中點
是
P
(
3,
7)
，求
a
和
b
的值。
6.
If
P
(
3,
7) is the mid-point of
A
(2
a
,
a
5)
and
B
(5
b
1,
4
b
1), find the values of
a
and
b
.
練習
12E
高
級組合
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練習
12E
高
級組合
12.22
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
7.
已知
A
(7,
3)
和
B
(
7,
10)
兩點。若
C
(
k
1,
8)
把線段
AB
以
1
:
r
的比分成兩部分，求
r
和
k
的值。
7.
Given two points
A
(7,
3) and
B
(
7,
10),
if
C
(
k
1,
8) divides line segment
AB
in
the ratio of 1
:
r
, find the values of
r
and
k
.
8.
下圖中，
E
分別以
2
:
3
的比把線段
AB
和
CD
分成兩部分。
8.
In the figure,
E
divides line segments
AB
and
CD
in the ratio of
2
:
3
respectively.
O
D
B
(
2,
8)
y
x
A
(3, 2)
C
(5,
4)
E
(a)
求
E
的坐標。
(b)
求
D
的坐標。
(c)
問
AC
與
DB
是否平行？
(a)
Find the coordinates of
E
.
(b)
Find the coordinates of
D
.
(c)
Are
AC
and
DB
parallel lines?
9.
下圖中，
C
和
D
是在
x
軸上的點。
A
以
1
:
r
的比把線段
PQ
分成兩部分。
ABCD
是
正方形，其面積是
9
個
平方單位。
9.
In the figure,
C
and
D
are points on the
x
-axis.
A
divides line segment
PQ
in the
ratio of 1
:
r
.
ABCD
is a square with the
area of 9 square units.
O
Q
(7, 5)
y
x
P
(
3, 1)
A
B
C
D
PA
AQ
1
r
(a)
試以
r
表示正方形
ABCD
的邊長。
(b)
由此，求
r
的值。
(a)
Express the length of each side of
square
ABCD
in terms of
r
.
(b)
Hence find the value of
r
.
10.
下圖中，
D
和
E
分別是在
AB
和
AC
上的
點且
DE
//
BC
。
10.
In the figure,
D
and
E
are points on
AB
and
AC
respectively, and
DE
//
BC
.
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練習
12F
初
級組合
第
12
章
直角坐標幾何
12.23
A
(8, 11)
B
(2,
1)
C
(20, 5)
D
(4,
a
)
E
(
b
,
c
)
(a)
求
AD
:
DB
。
(b)
求
D
和
E
的坐標。
(c)
求
ABC
與
ADE
的面積之比。
(a)
Find
AD
:
DB
.
(b)
Find the coordinates of
D
and
E
.
(c)
Find the ratio of the areas of
ABC
and
ADE
.
練習
12F
初
級
組
合
程度一
1.
下圖中，
ABC
的頂點為
A
(5,
0)
、
B
(13,
1)
和
C
(5,
3)
，
D
和
E
分別是
AC
和
BC
的
中點。
1.
In the figure, the vertices of
ABC
are
A
(5,
0),
B
(13,
1) and
C
(5,
3).
D
and
E
are the mid-points of
AC
and
BC
respectively.
B
(13, 1)
A
(5, 0)
D
y
x
O
C
(5, 3)
E
(a)
求
D
和
E
的坐標。
(b)
求證
DE
//
AB
。
(a)
Find the coordinates of
D
and
E
.
(b)
Prove that
DE
//
AB
.
2.
下圖中，
OAB
是等腰三角形，其中
OA
AB
。
D
是
OB
的中點。
2.
In the figure,
OAB
is an isosceles triangle,
where
OA
AB
.
D
is the mid-point of
OB
.
O
y
x
A
(3, 7)
D
B
(a)
求
B
和
D
的坐標。
(b)
由此，求證
AD
OB
。
(a)
Find the coordinates of
B
and
D
.
(b)
Hence prove that
AD
OB
.
練習
12F
初
級組合
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練習
12F
初
級組合
12.24
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
3.
下 圖 中 ，
D
和
C
分 別 是
OB
和
AB
上 的
點，使
AD
OB
和
OC
AB
。
3.
In the figure,
D
and
C
are the respective
points on
OB
and
AB
such that
AD
OB
and
OC
AB
.
O
y
x
A
(2, 8)
B
(10, 0)
D
(
a
, 0)
C
(5,
b
)
(a)
求
C
和
D
的坐標。
(b)
求證
AB
OB
BD
BC
。
(a)
Find the coordinates of
C
and
D
.
(b)
Prove that
AB
OB
BD
BC
.
4.
下 圖 中 ，
ADC
和
AEB
是 直 線 。
AD
AE
，
AB
CE
和
AC
BD
。
4.
In the figure,
ADC
and
AEB
are straight
lines.
AD
AE
,
AB
CE
and
AC
BD
.
O
y
x
A
(0, 100)
B
(75, 0)
D
(
a
, 72)
E
(21,
b
)
C
(
75, 0)
(a)
求
D
和
E
的坐標。
(b)
由此，求證
BD
CE
。
(a)
Find the coordinates of
D
and
E
.
(b)
Hence prove that
BD
CE
.
5.
下圖所示為菱形
OABC
。
P
和
Q
分別是
AB
和
OC
的中點。
5.
The figure shows rhombus
OABC
.
P
and
Q
are the mid-points of
AB
and
OC
respectively.
O
y
x
A
(14, 2)
B
(4, 12)
C
(
a
, 10)
Q
P
(a)
求
C
的坐標。
(b)
求
P
和
Q
的坐標。
(c)
由此，求證
OPBQ
是平行四邊形。
(a)
Find the coordinates of
C
.
(b)
Find the coordinates of
P
and
Q
.
(c)
Hence prove that
OPBQ
is a
parallelogram.
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第
12
章
直角坐標幾何
12.25
6.
下圖中，
OAB
是等腰三角形，其中
OA
BA
。
C
、
D
和
E
分別是
BO
、
OA
和
AB
上
的點，其中
OC
BE
和
OD
BC
。
6.
In the figure,
OAB
is an isosceles
triangle, where
OA
BA
.
C
,
D
and
E
are
points on
BO
,
OA
and
AB
respectively,
where
OC
BE
and
OD
BC
.
O
y
x
A
(45, 108)
B
(90, 0)
C
(65, 0)
E
(65,
b
)
D
(
a
, )
300
13
(a)
求
D
和
E
的坐標。
(b)
由此，求證
CDE
是等腰三角形。
(a)
Find the coordinates of
D
and
E
.
(b)
Hence prove that
CDE
is an isosceles
triangle.
7.
下 圖 中 ，
A
(4,
5)
、
B
(
a
,
b
)
、
C
(
4,
5)
和
D
(
10,
c
)
是一個四邊形的頂點，且
AC
和
BD
互相垂直平分。
7.
In the figure,
A
(4,
5),
B
(
a
,
b
),
C
(
4,
5)
and
D
(
10,
c
) are the vertices of a
quadrilateral, and
AC
and
BD
bisect
each other perpendicularly.
O
y
x
A
(4, 5)
B
(
a
,
b
)
C
(
4,
5)
D
(
10,
c
)
(a)
求
B
和
D
的坐標。
(b)
求
AB
、
BC
、
CD
和
DA
的斜率。
(c)
由此，求證
ABCD
是平行四邊形。
(a)
Find the coordinates of
B
and
D
.
(b)
Find the slopes of
AB
,
BC
,
CD
and
DA
.
(c)
Hence prove that
ABCD
is a
parallelogram.
程度二
練習
12F
初
級組合
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練習
12F
高
級組合
12.26
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
8.
下圖中，
A
、
B
(
c
,
d
)
、
C
(
a
,
b
)
和
D
(
c
,
d
)
是一個四邊形的四個頂點。已知
AC
和
BD
互相平分。
8.
In the figure,
A
,
B
(
c
,
d
),
C
(
a
,
b
) and
D
(
c
,
d
)
are the vertices of a
quadrilateral.
AC
and
BD
bisect each
other.
O
y
x
A
B
(
c
,
d
)
C
(
a
,
b
)
D
(
c
,
d
)
(a)
試以
a
和
b
表示
A
的坐標。
(b)
求證
ABCD
是一個平行四邊形。
(a)
Express the coordinates of
A
in
terms of
a
and
b
.
(b)
Prove that
ABCD
is a parallelogram.
9.
下圖中，
P
、
Q
和
R
分別是
OA
、
AB
和
OB
的中點。
9.
In the figure,
P
,
Q
and
R
are the mid-
points of
OA
,
AB
and
OB
respectively.
O
y
x
P
A
(
a
,
b
)
B
(
c
,
d
)
R
Q
(a)
求
P
、
Q
和
R
的坐標。
(b)
由此，求證
OPQR
是平行四邊形。
(a)
Find the coordinates of
P
,
Q
and
R
.
(b)
Hence prove that
OPQR
is a
parallelogram.
高
級
組
合
程度一
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第
12
章
直角坐標幾何
12.27
1.
求證下圖中的
OPQR
是長方形。
1.
Prove that
OPQR
in the following figure
is a rectangle.
O
P
(
3, 3)
y
x
R
(4, 4)
Q
(1, 7)
2.
求證下圖中的
ABCD
是平行四邊形。
2.
Prove that
ABCD
in the following figure
is a parallelogram.
O
y
x
D
(2, 3)
B
(5,
6)
A
(
1,
2)
C
(8,
1)
3.
下 圖所 示 為
OAD
。
B
和
C
是
OD
上 的
點，其中
AB
AC
和
OB
CD
。
3.
The figure shows
OAD
.
B
and
C
are
points on
OD
such that
AB
AC
and
OB
CD
.
O
y
x
D
B
(1, 0)
A
(
a
, 12)
C
(11, 0)
(a)
求
A
和
D
的坐標。
(b)
由此，求證
OA
DA
。
(a)
Find the coordinates of
A
and
D
.
(b)
Hence prove that
OA
DA
.
4.
下圖所示為四邊形
OABC
。
AC
和
BO
相交
於
D
。已知
AB
BC
OC
和
OA
//
CB
。
4.
The figure shows quadrilateral
OABC
.
AC
and
BO
intersect
at
D
.
AB
BC
OC
and
OA
//
CB
.
練習
12F
高
級組合
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練習
12F
高
級組合
12.28
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
O
y
x
B
A
(11, 0)
C
(3, 4)
D
(
a
, )
11
4
(a)
求
B
的坐標。
(b)
求
D
的坐標。
(c)
由 此 ， 求 證
OAD
是 一 個 等 腰 三 角
形。
(a)
Find the coordinates of
B
.
(b)
Find the coordinates of
D
.
(c)
Hence prove that
OAD
is an isosceles
triangle.
5.
下 圖 所 示 為
AOG
。
B
和
D
是
AO
上 的
點，而
E
是
AG
上的一點，使
DE
//
OG
和
BE
//
DG
。
5.
The figure shows
AOG
.
B
and
D
are
points on
AO
, and
E
is a point on
AG
such that
DE
//
OG
and
BE
//
DG
.
O
y
x
G
(10, 2)
D
(0, 4)
E
(5,
a
)
B
(0,
b
)
A
(0, 8)
(a)
求
B
和
E
的坐標。
(b)
求證
AB
DO
AD
BD
。
(a)
Find the coordinates of
B
and
E
.
(b)
Prove that
AB
DO
AD
BD
.
程度二
6.
下 圖 中 ，
OABC
是 梯 形 ， 其 中
AB
//
OC
。
M
和
N
分別是
OA
和
BC
的中點。
6.
In the figure,
OABC
is a trapezium,
where
AB
//
OC
.
M
and
N
are the mid-
points of
OA
and
BC
respectively.
O
y
x
C
(
c
, 0)
A
(
a
,
d
)
B
(
b
,
d
)
M
N
(a)
求
M
和
N
的坐標。
(b)
由此，求證
2
OC
AB
MN
。
(a)
Find the coordinates of
M
and
N
.
(b)
Hence prove that
2
OC
AB
MN
.
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第
12
章
直角坐標幾何
12.29
7.
下圖中，
OAB
和
OAC
是直角三角形，其
中
C
是
OB
上的一點。
7.
In the figure,
OAB
and
OAC
are right-
angled triangles, where
C
is a point on
OB
.
O
y
x
A
(
a
,
b
)
C
B
(a)
試以
a
和
b
表示
B
和
C
的坐標。
(b)
由此，求證
(i)
AC
2
OC
CB
。
(ii)
AB
2
OB
BC
。
(iii)
OA
2
OC
OB
。
(a)
Express the coordinates of
B
and
C
in terms of
a
and
b
.
(b)
Hence prove that
(i)
AC
2
OC
CB
.
(ii)
AB
2
OB
BC
.
(iii)
OA
2
OC
OB
.
8.
下圖中，
A
(
a
,
b
)
、
B
(
c
,
d
)
、
C
(
e
,
f
)
和
D
(
g
,
h
)
是任意一個四邊形的頂點。
P
、
Q
、
R
和
S
分別是
AB
、
BC
、
CD
和
DA
的中點。
8.
In the figure,
A
(
a
,
b
),
B
(
c
,
d
),
C
(
e
,
f
)
and
D
(
g
,
h
)
are the vertices of a
quadrilateral.
P
,
Q
,
R
and
S
are the mid-
points of
AB
,
BC
,
CD
and
DA
respectively.
O
y
x
A
(
a
,
b
)
S
R
B
(
c
,
d
)
C
(
e
,
f
)
Q
P
D
(
g
,
h
)
(a)
求
P
、
Q
、
R
和
S
的坐標。
(b)
求
PQ
、
QR
、
RS
和
SP
的斜率。
(c)
由此，求證
PQRS
是平行四邊形。
(a)
Find the coordinates of
P
,
Q
,
R
and
S
.
(b)
Find the slopes of
PQ
,
QR
,
RS
and
SP
.
(c)
Hence
prove that
PQRS
is a
parallelogram.
9.
下圖中，
OD
和
BC
是
OAB
的中線且相
交於
E
。
OE
:
ED
r
:
1
和
BE
:
EC
m
:
1
。
9.
In the figure,
OD
and
BC
are the
medians of
OAB
and intersect at
E
.
OE
:
ED
r
:
1 and
BE
:
EC
m
:
1.
練習
12F
高
級組合
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12.30
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
O
y
x
A
(2
a
, 2
b
)
E
B
(6
a
, 0)
D
C
OE
ED
r
1
;
BE
EC
m
1
(a)
試以
a
和
b
表示
C
和
D
的坐標。
(b)
求證
E
的坐標為
)
1
,
1
4
(
r
rb
r
ra
。
(c)
求證
E
的坐標為
)
1
,
1
)
6
(
(
m
mb
m
a
m
。
(d)
由此，求證
r
m
且求
r
和
m
的值。
(a)
Express the coordinates of
C
and
D
in terms of
a
and
b
.
(b)
Prove that the coordinates of
E
are
)
1
,
1
4
(
r
rb
r
ra
.
(c)
Prove that the coordinates of
E
are
)
1
,
1
)
6
(
(
m
mb
m
a
m
.
(d)
Hence prove that
r
m
and find the
values of
r
and
m
.
本章測驗
(
時限：
1
小時
)
甲部
(1)
[
每題
3
分
]
1.
求
A
(4, 5)
和
B
(
3, 2)
的距離。
1.
Find the distance between two points
A
(4, 5) and
B
(
3, 2)
.
2.
求穿過
P
(5, 2)
和
Q
(3,
4)
的直線之斜率。
2.
Find the slope of the straight line
passing through
P
(5, 2) and
Q
(3,
4)
.
3.
求 證
A
(3, 2)
、
B
(1, 1)
和
C
(
1, 0)
三點 共
線。
3.
Prove that three points
A
(3, 2),
B
(1, 1)
and
C
(
1, 0) are collinear.
4.
下圖中，
M
平分線段
AB
。求
a
的值。
4.
In the figure,
M
bisects line segment
AB
.
Find the value of
a
.
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第
12
章
直角坐標幾何
12.31
B
(10,
13)
A
(
a
, 1)
M
(3,
6)
5.
下圖中，
AP
:
PB
1
:
2
。求
P
點的坐標。
5.
In the figure,
AP
:
PB
1
:
2. Find the
coordinates of
P
.
B
(13, 2)
A
(1,
4)
P
6.
已知
A
(
2,
4)
和
B
(
9,
3)
兩點，
P
為線段
AB
上的一點，且
AP
:
PB
4
:
3
，求
P
點的坐標。
6.
Given two points
A
(
2,
4) and
B
(
9,
3)
,
P
is a point on line segment
AB
, and
AP
:
PB
4
:
3, find the coordinates of
P
.
甲部
(2)
[
每題
6
分
]
7.
已知直線
L
1
的斜率為
3
，而直線
L
2
穿過
P
(
2, 3)
和
Q
(4
b
,
b
)
。若
L
1
L
2
，求
b
的
值。
7.
Given that the slope of
L
1
is 3, and
straight line
L
2
passes through
P
(
2, 3)
and
Q
(4
b
,
b
), find the value of
b
if
L
1
L
2
.
8.
已知
H
(8,
0)
和
K
(12,
4)
兩點。若
I
(9,
1)
是
線 段
HK
上 的 一 點， 且
HI
:
IK
r
:
1
，
求
r
的值。
8.
Given two points
H
(8,
0) and
K
(12,
4),
if
I
(9,
1) is a point on line segment
HK
and
HI
:
IK
r
:
1, find the value of
r
.
9.
下圖中，
OABC
是一個四邊形。求證該四
邊形的對角線互相平分。
9.
In the figure,
OABC
is a parallelogram.
Prove that their diagonals bisect each
other.
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12.32
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
B
(10, 8)
O
y
x
A
(2, 7)
C
(8, 1)
10.
下圖中，
D
和
E
分別是
AB
和
AC
上的點。
已知
ADE
和
ABC
的面積之比是
4
:
25
且
BC
DE
。
10.
In the figure,
D
and
E
are points on
AB
and
AC
respectively. The ratio of the
areas of
ADE
and
ABC
is 4
:
25 and
BC
DE
.
B
(14, 13)
O
y
x
A
(
1,
7)
C
(
21,
3)
E
D
(a)
求
AD
DB
。
(b)
由此，求
D
和
E
的坐標。
(a)
Find
AD
DB
.
(b)
Hence find the coordinates of
D
and
E
.
乙部
11.
下圖所示為長方形
OABC
。
11.
The figure shows rectangle
OABC
.
B
O
y
x
A
(0,
a
)
C
(
c
, 0)
K
I
J
H
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第
12
章
直角坐標幾何
12.33
(a)
求
B
的坐標。
(1
分
)
(b)
求
OA
、
AB
、
BC
和
OC
的中點
H
、
I
、
J
和
K
的坐標。
(4
分
)
(c)
求證
HIJK
是一個菱形。
(8
分
)
(a)
Find the coordinates of
B
.
(1 mark)
(b)
Find the coordinates of the mid-points
H
,
I
,
J
and
K
of
OA
,
AB
,
BC
and
OC
.
(4 marks)
(c)
Prove that
HIJK
is a rhombus.
(8 marks)
多項選擇題
[
每題
3
分
]
12.
問下列何者的距離最長？
A.
A
(0, 1),
B
(3, 4)
B.
A
(2, 5),
B
(2,
3)
C.
A
(4,
5),
B
(6,
5)
D.
A
(
2, 9),
B
(3,
1)
□
12.
Which of the following has the longest
distance?
A.
A
(0, 1),
B
(3, 4)
B.
A
(2, 5),
B
(2,
3)
C.
A
(4,
5),
B
(6,
5)
D.
A
(
2, 9),
B
(3,
1)
□
13.
若穿過
A
(0, 0)
和
B
(
k
, 3)
的直線之斜率為
2
，求
k
的值。
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
3
□
13.
If the slope of the straight line passing
through
A
(0, 0) and
B
(
k
, 3) is 2, find the
value of
k
.
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
3
□
14.
若
A
(1,
4
1
)
、
B
(0,
2
1
)
和
C
(
a
, 1)
三點
共線，求
a
的值。
A.
1
B.
2
C.
2
1
2
D.
3
□
14.
If three points
A
(1,
4
1
),
B
(0,
2
1
) and
C
(
a
, 1) are collinear, find the value of
a
.
A.
1
B.
2
C.
2
1
2
D.
3
□
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12.34
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
15.
已知直線
L
1
的斜率是
2
1
，而直線
L
2
穿
過
P
和
Q
。若
L
1
L
2
，問下列哪組是
P
和
Q
的可能坐標？
A.
P
(1,
1),
Q
(0, 1)
B.
P
(7,
4),
Q
(
5, 2)
C.
P
(0, 3),
Q
(1,
5)
D.
P
(
5,
2),
Q
(
4
,
4
1
)
□
15.
It is given that the slope of straight line
L
1
is
2
1
and straight line
L
2
passes
through
P
and
Q
. If
L
1
L
2
, which of
the following are possible coordinates
of
P
and
Q
?
A.
P
(1,
1),
Q
(0, 1)
B.
P
(7,
4),
Q
(
5, 2)
C.
P
(0, 3),
Q
(1,
5)
D.
P
(
5,
2),
Q
(
4
,
4
1
)
□
□
16.
問下列何者不能組成三角形？
A.
(1, 3), (
4, 5), (
9, 7)
B.
(
1, 4), (7, 8), (3, 7)
C.
(6, 5), (
2,
8), (6,
3)
D.
(4, 4), (
5,
5), (
1,
2)
□
16.
Which of the following cannot form a
triangle?
A.
(1, 3), (
4, 5), (
9, 7)
B.
(
1, 4), (7, 8), (3, 7)
C.
(6, 5), (
2,
8), (6,
3)
D.
(4, 4), (
5,
5), (
1,
2)
□
17.
若
P
是
A
(
3, 4)
和
B
(7, 6)
的 中 點 ， 求
P
點的坐標。
A.
(5,
2)
B.
(2,
5)
C.
(
1,
5)
D.
(
5,
1)
□
17.
If
P
is the mid-point of
A
(
3,
4) and
B
(7,
6), find the coordinates of
P
.
A.
(5,
2)
B.
(2,
5)
C.
(
1,
5)
D.
(
5,
1)
□
18.
已知
A
(4,
2)
和
B
(8,
6)
兩點。若
P
點以
1
:
3
的比把線段
AB
分成兩部分，求
P
點
的坐標。
A.
(0,
5)
B.
(2,
2)
C.
(5,
3)
D.
(6,
4)
□
18.
Given two points
A
(4,
2) and
B
(8,
6), if
P
divides line segment
AB
in the ratio of
1
:
3, find the coordinates of
P
.
A.
(0,
5)
B.
(2,
2)
C.
(5,
3)
D.
(6,
4)
□
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第
12
章
直角坐標幾何
12.35
19.
若
P
(2,
8)
是
A
(
a
,
b
)
和
B
(
4,
6)
的 中 點 ，
求
a
b
的值。
A.
18
B.
4
C.
2
D.
2
□
19.
If
P
(2,
8) is the mid-point of
A
(
a
,
b
) and
B
(
4,
6), find the value of
a
b
.
A.
18
B.
4
C.
2
D.
2
□
20.
已知
A
(2,
5)
和
B
(
c
,
2)
兩點。若
P
(
1,
3)
以
2
:
1
的比把線段
AB
分成兩部分，求
c
的
值。
A.
9
B.
4
C.
2.5
D.
0
□
20.
Given two points
A
(2,
5) and
B
(
c
,
2), if
P
(
1,
3) divides line segment
AB
in the
ratio of 2
:
1, find the value of
c
.
A.
9
B.
4
C.
2.5
D.
0
□
21.
下圖中，
P
、
Q
和
R
為線段
AB
上的點，求
P
點的坐標。
21.
In the figure,
P
,
Q
and
R
are points on
line segment
AB
. Find the coordinates of
P
.
B
(
5, 7)
O
y
x
A
(0, 2)
P
Q
R
A.
)
3
23
,
5
(
B.
)
3
14
,
5
(
C.
)
4
23
,
4
15
(
D.
)
5
,
3
14
(
□
A.
)
3
23
,
5
(
B.
)
3
14
,
5
(
C.
)
4
23
,
4
15
(
D.
)
5
,
3
14
(
□
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12.36
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
22.
求下圖中
AB
:
CD
的比。
22.
Find the ratio of
AB
:
CD
in the following
figure.
A
(
5, 9)
O
y
x
D
(15,
3)
C
B
A.
1
:
1
B.
1
:
2
C.
2
:
1
D.
3
:
1
□
A.
1
:
1
B.
1
:
2
C.
2
:
1
D.
3
:
1
□
23.
ABC
和
DEF
是直角坐標平面上的三
角形且
ABC
DEF
。問下列何者必然
正確？
I.
A
與
B
的距離相等於
D
與
E
的距離。
II.
AB
的斜率相等於
DE
的斜率。
A.
只有
I
B.
只有
II
C.
全部皆是
D.
全部皆不是
□
23.
ABC
and
DEF
are triangles on a
rectangular
coordinate
plane
and
ABC
DEF
. Which of the following
must be correct?
I.
The distance between
A
and
B
is
equal to the distance between
D
and
E
.
II.
The slope of
AB
is equal to the slope
of
DE
.
A.
I
only
B.
II
only
C.
All of them
D.
None of them
□
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第
12
章
直角坐標幾何
12.37
24.
A
、
B
和
C
是直角坐標平面上的三點。問下
列何者必不正確？
I.
m
AC
m
BC
m
AB
II.
m
AC
m
BC
m
AB
III.
AC
BC
AB
A.
只有
I
B.
只有
III
C.
只有
I
和
II
D.
全部皆是
□
24.
A
,
B
and
C
are three points on a
rectangular coordinate plane. Which of
the following must be incorrect?
I.
m
AC
m
BC
m
AB
II.
m
AC
m
BC
m
AB
III.
AC
BC
AB
A.
I
only
B.
III
only
C.
I
and
II
only
D.
All of them
□
25.
已知
P
(
1,
3)
、
Q
(5,
1)
、
R
(7,
5)
和
S
(3,
9)
四點。問下列何者正確？
I.
四 邊 形
PQRS
的對 角 線 互相 垂直 平
分。
II.
四邊形
PQRS
的四邊相等。
III.
四邊形
PQRS
的對邊平行。
A.
只有
I
B.
只有
I
和
II
C.
只有
II
和
III
D.
全部不正確
□
25.
Given four points
P
(
1,
3),
Q
(5,
1),
R
(7,
5)
and
S
(3,
9), which of the following is/are
correct?
I.
Diagonals of quadrilateral
PQRS
bisect each other perpendicularly.
II.
All the sides of quadrilateral
PQRS
are equal in length.
III.
The opposite sides of quadrilateral
PQRS
are parallel.
A.
I
only
B.
I
and
II
only
C.
II
and
III
only
D.
None of them
□
26.
下 圖 中 ， 四 邊 形
ABCD
的 頂 點 分 別 是
A
(
2,
4)
、
B
(1,
1)
、
C
(6,
2)
和
D
(3,
3)
。問
下列何者正確？
26.
In the figure, the vertices of quadrilateral
ABCD
are
A
(
2,
4),
B
(1,
1),
C
(6,
2) and
D
(3,
3). Which of the following is/are
correct?
D
(3,
3)
O
y
x
A
(
2,
4)
C
(6, 2)
B
(1, 1)
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12.38
數學新里程
中三下
—
初中附加練習
I.
對角線
AC
的中點坐標是
(2,
1)
。
II.
對角線
BD
的中點坐標是
(2,
1)
。
III.
線段
BC
的斜率和線段
AD
的斜率相
等。
IV.
四邊形
ABCD
的所有邊長相等。
A.
只有
I
B.
只有
II
C.
只有
II
和
III
D.
只有
III
和
IV
□
I.
The coordinates of the mid-point of
diagonal
AC
are (2,
1).
II.
The coordinates of the mid-point of
diagonal
BD
are (2,
1).
III.
The slopes of line segments
BC
and
AD
are equal.
IV.
All the sides of quadrilateral
ABCD
are equal in length.
A.
I
only
B.
II
only
C.
II
and
III
only
D.
III
and
IV
only
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