Chapter 8.1, Problem 40PPS

To determine

To Prove:

Theorem $8.2$

Explanation of Solution

Give information:

Parallelogram $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ with $\mathrm{A}\mathrm{C}$ as it bisect diagonal

Proof:

Opposite side s of parallelogram is parallel.

So, $\mathrm{A}\mathrm{B}\parallel \mathrm{D}\mathrm{C}$ and $\mathrm{A}\mathrm{D}\parallel \mathrm{B}\mathrm{C}$

Since $\mathrm{A}\mathrm{B}\parallel \mathrm{D}\mathrm{C}$ and $\mathrm{A}\mathrm{C}$ is the transversal.

  $\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}=\angle \mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{...}\left(1\right)$ (alternate angles)

Since $\mathrm{A}\mathrm{D}\parallel \mathrm{B}\mathrm{C}$

Since $\mathrm{A}\mathrm{B}\parallel \mathrm{D}\mathrm{C}$ and $\mathrm{A}\mathrm{C}$ is the transversal.

  $\angle \mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}=\angle \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{...}\left(1\right)$ (alternate angles)

In $△\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ and $△\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}$

  $\begin{array}{l}\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}=\angle \mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{A}\\ \mathrm{A}\mathrm{C}=\mathrm{A}\mathrm{C}\\ \angle \mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}=\angle \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{A}\\ △\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\cong △\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{...}\left(\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{y}\right)\end{array}$

  

Hence,

  $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{C}\mathrm{D},\mathrm{A}\mathrm{D}=\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{...}\left(\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{T}\right)$ (Corresponding parts of Congruent triangles)

Hence it is proved.