Exercice 1: Simplifier les expressions suivantes. A=In (3-√3)+In (3+√3) B=Ine-In²+In 2 C-31n2+ In9-2ln(2√6)
Exercice 1: Simplifier les expressions suivantes. A=In (3-√3)+In (3+√3) B=Ine-In²+In 2 C-31n2+ In9-2ln(2√6)
Advanced Engineering Mathematics
10th Edition
ISBN:9780470458365
Author:Erwin Kreyszig
Publisher:Erwin Kreyszig
Chapter2: Second-order Linear Odes
Section: Chapter Questions
Problem 1RQ
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Résulte
![201
EXERCICES ET PROBLÈMES
Exercice 1:
Simplifier les expressions suivantes.
A=In(3-√√3)+In (3+√3) B=Ine-In²+In 2
4G
C=3In 2+--In 9-2ln(2-√√6)
Exercice 2:
Résolvez dans IR les équations suivantes.
1) In x+ln(3x+2) =In(2x+3)
2)
3) 4(Inx) -4lnx-3=0
In(x-3)+In(x+1)=In(x+7)
Exercice 3:
Résolvez dans IR les inéquations suivantes.
1) In(3-x)-In(x+1) ≤0
2) 4(Inx)-4Inx-3≤0
Exercice 4:
Déterminer le domaine de définition de la fonction f.
1)/(x)=(In(x)-2)√4-x
2) f(x)=√1-In.x
3) f(x)=
A-lim-
Exercice 5:
Calculez les limites suivantes.
In (1+3x)
C- lim xln
THE
2x
1-Inx
340 *
G=lim x+
x
E= lim x In(1+-
kail
2x + (1-²) Mm.
Inx
B-lim
x² Inx
1+x
THE
D= lim
F=lim
In(x+3)
*
In(x²+4x)
X
(x+2) Inx
x-1
H= lim x+
F
e
Inx
4) f(x)=
2)f(x)=In√1+4x+x²
In(1+x²)
3) f(x)=
Exercice 7:
la fonction / définie sur [1,+[par: f(x)=x√Inx
On désigne par (C,) sa courbe représentative dans un
repère orthonormé (0.1.j) du plan.
1) Montrer que fest continue sur 1=[1:+[.
2) a) Etudier la dérivabilité de fà droite en 1. et
Interpréter géométriquement le résultat trouvé.
b) Dresser le tableau de variation de f.
Pr: BELKHYR ABDELAZIZ
3) a) Déterminer l'intersection de (A)y=xet (C₂).
b) Tracer (C,) et (A).
4) a) Montrer que fadmet une fonction réciproque g
définie sur J-[0,+[.
b) Tracer la courbe (C₁) dans le repère (0,i,j).
5) On considère la suite (,) définie par :
u=0 et u=g(u) pour tout n de IN.
a) Montrer que pour tout n de IN on a: Osu, Se.
b) Montrer que la suite (u) est décroissante.
c) En déduire que (u) est convergente et trouver sa
limite.
Exercice 8:
Partiel: Soit g la fonction définie sur ]-1;+[par:
g(x)=2x-In(1+x)
Exercice 6:
Démontrer que la fonction fest dérivable sur 30:+0[ et 5) vérifier que: f(a)= ²√
1+a
explicitez f(x).
6) Tracer la courbe (C,) dans le repère (0,i,j).
1) f(x)=x²(2lnx-1)
Exercice 8:
Déterminer une primitive F de la fonction f sur I
1) f(x)=
2) f(x)=
3
2x+1
4x-2
x²-x+1
1
xinx
In x
3) f(x)=
4) f(x)=
:
x
1) Dresser le tableau de variation de g.
2) Montrer que l'équation g(x)=0 admet dans
l'intervalle]-1:+[deux solutions 0 et a et vérifier
que 3,8<a<4.
3) En déduire le signe de g(x) pour tout xe]-1, +00[
4) Montrer que pour tout x de 1-1:+[, on a:
7:52
g(x) ≤1
Partie2: Soit la fonction définie sur [0,+[par:
√(x) = n(1+x)
si x>0 et J (0)=0.
On désigne par (C,) la courbe représentative de f
dans un repère orthonormé (0,i,j) du plan.
1) Montrer que fest continue sur [0,+[
2) Etudier la dérivabilité de fà droite en 0.
3) Montrer que (Vx>0); f'(x)= 8(x)
2x√x
4) Dresser le tableau de variation de f
;
:
5) f(x)=tanx;
I=IR.
1 =]1:+00[
1 =]0;+00[
I=
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EXERCICES ET PROBLÈMES
Exercice 1:
Simplifier les expressions suivantes.
A=In(3-√√3)+In (3+√3) B=Ine-In²+In 2
4G
C=3In 2+--In 9-2ln(2-√√6)
Exercice 2:
Résolvez dans IR les équations suivantes.
1) In x+ln(3x+2) =In(2x+3)
2)
3) 4(Inx) -4lnx-3=0
In(x-3)+In(x+1)=In(x+7)
Exercice 3:
Résolvez dans IR les inéquations suivantes.
1) In(3-x)-In(x+1) ≤0
2) 4(Inx)-4Inx-3≤0
Exercice 4:
Déterminer le domaine de définition de la fonction f.
1)/(x)=(In(x)-2)√4-x
2) f(x)=√1-In.x
3) f(x)=
A-lim-
Exercice 5:
Calculez les limites suivantes.
In (1+3x)
C- lim xln
THE
2x
1-Inx
340 *
G=lim x+
x
E= lim x In(1+-
kail
2x + (1-²) Mm.
Inx
B-lim
x² Inx
1+x
THE
D= lim
F=lim
In(x+3)
*
In(x²+4x)
X
(x+2) Inx
x-1
H= lim x+
F
e
Inx
4) f(x)=
2)f(x)=In√1+4x+x²
In(1+x²)
3) f(x)=
Exercice 7:
la fonction / définie sur [1,+[par: f(x)=x√Inx
On désigne par (C,) sa courbe représentative dans un
repère orthonormé (0.1.j) du plan.
1) Montrer que fest continue sur 1=[1:+[.
2) a) Etudier la dérivabilité de fà droite en 1. et
Interpréter géométriquement le résultat trouvé.
b) Dresser le tableau de variation de f.
Pr: BELKHYR ABDELAZIZ
3) a) Déterminer l'intersection de (A)y=xet (C₂).
b) Tracer (C,) et (A).
4) a) Montrer que fadmet une fonction réciproque g
définie sur J-[0,+[.
b) Tracer la courbe (C₁) dans le repère (0,i,j).
5) On considère la suite (,) définie par :
u=0 et u=g(u) pour tout n de IN.
a) Montrer que pour tout n de IN on a: Osu, Se.
b) Montrer que la suite (u) est décroissante.
c) En déduire que (u) est convergente et trouver sa
limite.
Exercice 8:
Partiel: Soit g la fonction définie sur ]-1;+[par:
g(x)=2x-In(1+x)
Exercice 6:
Démontrer que la fonction fest dérivable sur 30:+0[ et 5) vérifier que: f(a)= ²√
1+a
explicitez f(x).
6) Tracer la courbe (C,) dans le repère (0,i,j).
1) f(x)=x²(2lnx-1)
Exercice 8:
Déterminer une primitive F de la fonction f sur I
1) f(x)=
2) f(x)=
3
2x+1
4x-2
x²-x+1
1
xinx
In x
3) f(x)=
4) f(x)=
:
x
1) Dresser le tableau de variation de g.
2) Montrer que l'équation g(x)=0 admet dans
l'intervalle]-1:+[deux solutions 0 et a et vérifier
que 3,8<a<4.
3) En déduire le signe de g(x) pour tout xe]-1, +00[
4) Montrer que pour tout x de 1-1:+[, on a:
7:52
g(x) ≤1
Partie2: Soit la fonction définie sur [0,+[par:
√(x) = n(1+x)
si x>0 et J (0)=0.
On désigne par (C,) la courbe représentative de f
dans un repère orthonormé (0,i,j) du plan.
1) Montrer que fest continue sur [0,+[
2) Etudier la dérivabilité de fà droite en 0.
3) Montrer que (Vx>0); f'(x)= 8(x)
2x√x
4) Dresser le tableau de variation de f
;
:
5) f(x)=tanx;
I=IR.
1 =]1:+00[
1 =]0;+00[
I=
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Peterson, John.
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