c) f(x) = (0, 0

Solving Fourier cosine and sine series

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}0, 0<x<1\\ 1, 1<x<2\end{array}\right.$

As $f\left(-x\right)=-f\left(x\right) so f\left(x\right)$ is an odd function of x.

Hence, $a_n=0 for all n$

$f\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\mathrm{\pi }x}{l}+b_n\sin \frac{n\mathrm{\pi }x}{l}\right)$ mm                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

Now, 

$$\begin{gathered} a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f\left(x\right)dx \\ {a}_0=\frac{1}{1}\left[{\int }_0^{1}0dx+{\int }_1^{2}1dx\right] \\ {a}_0=1.{\int }_1^{2}1dx \\ {a}_0=x_1^2 \\ {a}_0=2-1=1 \end{gathered}$$

hence, $a_0=\frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f\left(x\right)\sin \frac{n\mathrm{\pi x}}{l}dx \\ {b}_n=\frac{1}{1}\left[{\int }_0^{1}0.\sin \frac{n\mathrm{\pi x}}{1}dx+{\int }_1^{2}1.\sin \frac{n\mathrm{\pi x}}{1}dx\right] \\ {b}_n={\int }_1^{2}1.\sin \frac{n\mathrm{\pi x}}{1}dx \\ integral of \int \sin x dx=-\cos x \\ {b}_n=-\cos {\frac{n\mathrm{\pi x}}{n\mathrm{\pi }}}_1^2 \\ {b}_n=-\frac{1}{n\mathrm{\pi }}\left[\cos 2n\pi -\cos n\pi \right] for all n\ge 1 \\ {b}_1=-\frac{1}{\mathrm{\pi }}\left[\cos 2\pi -\cos \pi \right] =\frac{-2}{\mathrm{\pi }} \\ {b}_2=-\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\left[\cos 4\pi -\cos 2\pi \right]=0 \\ {b}_3=-\frac{1}{3\mathrm{\pi }}\left[\cos 6\pi -\cos 3\pi \right]=\frac{-2}{3\mathrm{\pi }} \\ {b}_4=-\frac{1}{4\mathrm{\pi }}\left[\cos 8\pi -\cos 4\pi \right]=0 \\ {b}_5=-\frac{1}{5\mathrm{\pi }}\left[\cos 10\pi -\cos 5\pi \right]=\frac{-2}{5\mathrm{\pi }} \end{gathered}$$